© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De afgeleide van gx
Terug naar de basis:
Ooit zijn we begonnen met de afgeleide in een punt door een punt vlak ernaast te nemen en dan tussen beide punten Δy/Δx uit te rekenen.  Als het punt  (x, f(x)) is, dan is het punt vlak ernaast  (x + dx, f(x + dx))
Dat geeft de volgende formule:

(dx nul nemen kan helaas niet want dan staat er 0/0))
Laten we dat gaan toepassen op f(x) = gx :
Waauw!! Wat een ontdekking.  Zie je het????
Het laatste stukje achter gx daar zit geen x meer in, dus dat is een constant getal! (hangt alleen nog van g af)
Neem bijvoorbeeld g = 2, dan is dat getal ongeveer  (2,0001 - 1) /(0,0001) = 0,693 dus de afgeleide is  2x • 0,693
Neem bijvoorbeeld g = 3, dan is dat getal ongeveer  (30,0001 - 1) /(0,0001) = 1,098 dus de afgeleide is  3x • 1,098
enz.
Zo heeft elke g zijn eigen constante getal.
Hiernaast staan voor een aantal g-waarden de bijbehorende waarden van dat constante getal.
Vroeger had je tabellenboeken om deze constante getallen voor allerlei g op te zoeken. maar tegenwoordig zijn die natuurlijk onder een knop van je rekenmachine gestopt.
Het is de knop  "ln".  Dus we schrijven:  constante getal = ln(g).
f(x) = gx  ⇒  f '(x) = gx • ln(g)
functie afgeleide
2x 2x • 0,693
3x 3x • 1,098
4x 4x • 1,386
5x 5x • 1,609
6x 6x • 1,792
enz. enz.
 
In een volgende les zullen we het er nog uitgebreid over hebben wat die ln(x) nou precies voorstelt.
 
Denk om de kettingregel en al die anderen!

Natuurlijk blijven alle "oude" differentieerregels, zoals de productregel, de quotiëntregel en de kettingregel,  ook gelden.
De meest voorkomende regel bij afgeleiden met exponentiële functies is de kettingregel.
Dus denk erom:   23x - 4  moet je lezen als  2[  ]  dus de afgeleide is  2[  ] • ln2 • [  ]'  =  23x - 4 • ln2 • 3
 
Voorbeeld: 
Geef de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van  f(x) = (3 + 2x)5  in x = 1
Geef de constanten in je vergelijking in 2 decimalen nauwkeurig

Oplossing:
f '(x) = 5(3 + 2x)4 · 2x · ln(2)
f '(1) = 625 ·2 ·ln(2) = 866,433...

f(1) = 625
625 = 866,433 · 1 + b  geeft  b = -241,33
De raaklijn is de lijn  y = 866,43·x - 241,33
 
Voorbeeld:  
Geef de x-coördinaat van het maximum van de grafiek van f(x) = 10x - 1,23x + 1 
in 2 decimalen nauwkeurig.

Oplossing:
f '(x) = 10 - 1,23x + 1 · ln(1,2) · 3
f ' = 0  geeft    10 - 1,23x + 1 · ln(1,2) · 3
10 = 1,23x + 1 · ln(1,2) · 3
18,28... =  1,23x + 1
3x + 1 = 1,2log(18,28...) = 15,938...
x ≈ 4,97

 
 
 
 
OPGAVEN
1. a. Gegeven is de functie  f(x) = 3 • 2x .  Benader de helling in het punt  (3, 24)
     
b. Gegeven is de functie  g(x) = 8 - 3x .  In welk punt is de helling ongeveer gelijk aan  -12 ?
     
c. Bereken het maximum van de grafiek van  y = 10x - 2x .
     
d. Gegeven is de functie  h(x) = 4 - 0,2x .  Geef een vergelijking van de raaklijn in (-1, -9)
     
2. Geef de afgeleide functie van de onderstaande functies.
a. f(x) = 2 • 53 - 2x e. f(x) = √(2x - 2x)
         
b. f(x) = 4x - 2√x f. f(x) = 6 - 4 • 0,23x - 1
         
c. f(x) = (3x + 2)3 g. f(x) = 3x + 43x
         
d. f(x) = x • 3x h.
3. Hiernaast zie je de grafiek van y = 8 - 2x
Vanaf punt P (met x tussen  0 en 3)  is een loodlijn op de x-as neergelaten.
Dat geeft punt Q op de x-as, en driehoek OPQ.

Bereken voor welke P de oppervlakte van driehoek OPQ maximaal zal zijn. Geef een algebraïsche berekening, en geef de coördinaten van P in twee decimalen nauwkeurig.

 

4. Het aantal elektrische auto's in Nederland neemt toe.
Vooral het Tesla model 3 is erg populair.
De auto werd op de Nederlandse markt gelanceerd in 2016.
Voor 2016 nemen we daarom t = 0  (t de tijd in jaren)

In 2018 waren er 31000 van deze auto's in Nederland en in 2024 waren er al ongeveer 48000.

 
     
  a. Stel een functievoorschrift voor het aantal Tesla-model-3 auto's in Nederland op als de groei vanaf het begin lineair verloopt en bereken vervolgens daarmee het aantal auto's in 2029.
         
  b. Stel een functievoorschrift voor het aantal Tesla-model-3 auto's in Nederland op als de groei vanaf het begin  exponentieel verloopt en bereken vervolgens daarmee het aantal auto's in 2029.
         
  c. Bereken algebraïsch op welk tijdstip (in maanden nauwkeurig) het lineaire groeimodel en het exponentiële groeimodel dezelfde groeisnelheid geven.
         
5. De postbestellers in Nederland zijn nog vooral mannen.
Waarom dat zo is weet eigenlijk niemand.....

PostNL besluit een promotiecampagne te houden om meer vrouwelijke postbestellers te krijgen.
Begin 2020 waren er nog 11000 mannelijke postbezorgers en 4000 vrouwelijke.
Dankzij de promotiecampagne nam vanaf toen het aantal vrouwelijk postbestellers met 2,5% per maand toe.
Dat is goed nieuws, maar tegelijkertijd nam het aantal mannelijke postbezorgers met  3% per maand af.

Neem voor deze opgave aan dat deze groei en afname voorlopig zo zullen blijven.
         
  a. In welke maand zullen er dan voor het eerst meer vrouwelijke dan mannelijke postbezorgers zijn?
         
   Het totaal aantal postbezorgers van PostNL direct na deze campagne daalde.
         
  c. Bereken met behulp van een afgeleide in welk jaar de daling van het totaal aantal postbezorgers van {ostNL zal worden omgebogen naar een stijging.
     
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)