ฉ h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
De binomiale verdeling.
Bij berekeningen met kansbomen zie je heel veel dezelfde `soort` problemen, met een duidelijke regelmaat.
Neem de volgende twee:
1. Met een viervlaksdobbelsteen hiernaast gooi je 12 keer.
Hoe groot is de kans op 5 keer het getal 3?

2. Van alle fietsers rijdt 15% door rood licht.
Hoe groot is dan de kans dat van de 10 fietsers er precies 3 door rood licht rijden?
De oplossingen zijn intussen makkelijk:
1. E้n gunstige tak is (D = 3, N = niet-3):   DDDDDNNNNNNN met kans  0,255 • 0,757
er zijn (12 nCr 5) zulke takken dus de kans is  (12 nCr 5) • 0,255 • 0,757 
2. E้n gunstige tak is (W = wel door rood, N = niet door rood):  WWWNNNNNNN met kans  0,153 • 0,857
Er zijn  (10 nCr 3) zulke takken dus de kans is  (10 nCr 3) • 0,153 • 0,857
Wat hebben deze problemen gemeenschappelijk?
Nou, bijna alles, wiskundig gezien.
Het gaat steeds om een aantal "experimenten"  (12 keer gooien, 10 fietsers)  waarbij er elke keer een "kans op succes" is  (0,25 bij de dobbelsteen, 0,15 bij de fietsers) en er wordt gevraagd naar  een bepaald aantal successen (5 drie๋n  en  3 fietsers door rood).
Deze drie getallen bepalen het hele probleem. Kijk maar naar de oplossingen:
(12 nCr 5) • 0,255 • 0,757 
(10 nCr 3) • 0,153 • 0,857

Vervang het aantal experimenten door de letter n,  de kans op succes per keer door de letter p,  en het gevraagde aantal successen door de letter k, dan staat hier:

(n  nCr k) • pk • (1 - p)n - k

Ga dat zelf maar na.
Daarbij zijn nog twee andere overeenkomsten:

•

 Het gaat steeds om experimenten "met terugleggen". Dat wil zeggen dat de kansen bij de takken van de kansboom gelijk blijven (steeds 0,25 en 0,75  of  0,15 en 0,85  of  p en (1-p))
•

Er zijn elke keer maar twee mogelijke uitkomsten, dus de boom splitst zich steeds in twee๋n  (steeds  drie - niet drie  en  rood - niet rood  en  succes - niet succes)
Als aan deze twee voorwaarden is voldaan dan geldt het systeem van hierboven. Dat heet binomiaal en wordt dus zoals we al zagen gekenmerkt door drie getallen  (n, p, k).
Samengevat:
BINOMIAAL:
• met terugleggen.
• twee mogelijkheden per keer.
 
aantal experimenten n
kans op succes per keer  p
gevraagd k successen
P(k) = (n  nCr k) • pk • (1 - p)n - k
Waarom is dit handig om te weten?  Nou, omdat dit "systeem" nogal vaak voorkomt en omdat er zo'n handige kant en klare formule voor is, is er een knop op je rekenmachine gemaakt die dit allemaal in ้้n keer voor je berekent.
Toets in 2nd - DISTR en kies optie 0:  binompdf
Daarachter zet je tussen haakjes  n, p, k  gescheiden door een dikke komma (die boven de 7)

Voor de viervlakdobbelsteen geeft dat  binompdf(12, 0.25, 5) = 0,1032
Voor de fietsers door rood geeft dat  binompdf(10, 0.15, 3) = 0,1298
 
 
  OPGAVEN
1. Op weg naar werk moet een automobilist langs twee bruggen,.
In de zomer staan die bruggen best vaak open: de kans dat hij voor de eerste brug moet wachten is 34%  en de kans dat hij voor de tweede brug moet wachten is zelfs 42%
     
a. Hoe groot is de kans dat hij bij 25 ritten in de zomer naar zijn werk op de heenweg precies 10 keer voor de eerste brug moet wachten?
     
b. Berken de kans dat hij bij 20 ritten in de zomer naar zijn werk precies 5 keer voor beide bruggen moet wachten?
   
2. Ik gooi 20 vierzijdige dobbelstenen voor mij op tafel.

Hoe groot is de kans dat er met precies 8 van die stenen het getal 4 is gegooid.
3. Een kogelstoter heeft zijn worpen allemaal bijgehouden, en weet dat de kans dat hij meer dan  15 meter ver gooit gelijk is aan  65%.
Hoe groot is dan de kans dat er van 20 worpen  precies  8 minder ver dan 15 meter zijn?
4. Bij het CBR, de instantie die het rijexamen afneemt, blijkt dat in totaal 45% van de afgenomen praktijkexamens een rijbewijs oplevert. De rest wordt afgewezen.
     
a. Hoe groot is de kans dat op een dag pas de zesde kandidaat als eerste slaagt?
     
b. Bereken de kans dat er van 40 kandidaten precies  25 slagen.
     
5. In Nederland heeft nu 41,3% van de mannen en 29,5% van de vrouwen overgewicht.
Bij een onderzoek onder 80 vrouwen en 96 mannen wordt onder anderen gemeten of er sprake is van overgewicht.
       
  a. Bereken de kans dat er precies 30 vrouwen overgewicht hebben
       
  Bij een controle onder vier aselect gekozen mannen en vier aselect gekozen vrouwen wordt bij een aantal van hen osteoporose geconstateerd.
       
  b. Bereken de kans dat dit aantal 2 is.
       

ฉ h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)