© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Breuken  
     

Het is lastig er mee te rekenen.
Het liefst zou je ze gewoon afronden, maar ja, dat mag bij wiskunde B meestal niet!

Had je maar wiskunde A moeten kiezen!!

Gelukkig hebben breuken één prettige eigenschap:
     

Als je ze met hun eigen  noemer vermenigvuldigt dan verdwijnen ze!!
     
Kijk maar:   

2/3 · 3 = 2
5/7 · 7 = 5
18/235 · 235 = 18
23/8 · 8 =  19  

en ga zo maar door.

Die eigenschap gaan we gebruiken om vergelijkingen met breuken eenvoudiger te maken.
       
Laten we simpel beginnen:  
       
Los op  3/7x + 2 = 8
Als je nou alles met 7 vermenigvuldigt (balansmethode!) dan is die breuk verdwenen, kijk maar:
7 · 3/7x + 7 · 2 = 7 · 8
3x + 14 = 56
3x = 42
x = 14
       
Nog eentje?
       
2/5x + 3 = 4x - 2
vermenigvuldig alles met 5, dat geeft    2x + 15 = 20x - 10
25 = 18x
x = 25/18.
       
Het voordeel van deze methode is dat in stap 1 al meteen de breuken verdwijnen, zodat het weer een "gewone" vergelijking is geworden.
       
Meerdere breuken tegelijk.
       
Met meerdere verschillende breuken in één vergelijking zou je ze natuurlijk gewoon één voor één kunnen wegwerken door met de noemers te vermenigvuldigen.
       
Voorbeeld:  
Los op  2/5x + 4 = 4/7x - 12
vermenigvuldig eerst met 5:    2x + 20 = 20/7x - 60
vermenigvuldig daarna met 7:   14x + 140 = 20x - 420
-540 = 6x
x = -540/6 = -90

Maar het kan natuurlijk ook in één keer door direct met 35 te vermenigvuldigen (dat is immers hetzelfde als met 5 én met 7 te vermenigvuldigen):
Los op  2/5x + 4 = 4/7x - 12
vermenigvuldig met 35:  14x + 140 = 20x - 420
enz.
       
Breuken en Haakjes.
       
Als er een breuk voor haakjes staat dan hoef je niet eerst die haakjes weg te werken maar kun je eerst alles met de noemer vermenigvuldigen.
Bedenk dan wel dat dat hele stuk met die haakjes in één keer met die noemer wordt vermenigvuldigd.
       
Voorbeeld:
Los op :   2/9 · (3x - 2) + 5 = 6 - 2x
vermenigvuldig met 9:   9 · 2/9·(3x - 2) + 9 · 5 = 54 - 18x
2 · (3x - 2) + 45 = 54 - 18x
6x - 4 + 45 = 54 - 18x
24x = 95
x = 95/24 
       
Voorbeeld:
Los op:    5/8(1/3x - 5) = 4 + x 
vermenigvuldig met 8:   5(1/3x - 5) = 32 + 8x
5/3x - 25 = 32 + 8x
vermenigvuldig met 3:  5x - 75 = 96 + 24x
-171 = 19x
x = -171/19
       
 
                                       
  OPGAVEN.
       
1. Los exact op:
       
  a. 2/11x + 2 = 3/11x - 6
       
  b. 4/7 + 2/9x = x + 1/9
       
  c. 4 + 2/3x = 1/5x - 3  
       
  d. 2/7 + 2x =  3/11x + 4
       
2. Los exact op:
       
  a. 4/9(2x - 1) =  5/9x + 8
       
  b. 5x + 2  = 41/3 · (2x  - 7)
       
  c. 3/7x - 1  = 2/5(x + 8)
       
  d. 1/2(5x  - 3) = 7/8x + 1/5
       
3. De broertjes Fred en Jeroen zijn samen een stuk aan 't fietsen, maar helaas botst Fred tegen een boom aan, en zijn fiets is helemaal vernield. Ze zijn nog 16 km van huis af.
Ze besluiten het leed te verdelen: Fred gaat naar huis lopen en Jeroen gaat fietsen, maar na enige tijd zal Jeroen zijn fiets tegen een boom laten staan en zelf verder lopen. Fred kan die fiets dan oppikken en verder fietsen.
Fred loopt 4 km/uur en fietst 10 km/uur,  Jeroen loopt 5 km/uur en fietst 12 km/uur.

Stel dat Jeroen x km gaat fietsen en dan verder loopt.
Als Fred en Jeroen tegelijk thuis willen aankomen dan moet gelden:   1/12x +  1/5(16 - x) = 1/4x + 1/10(16 - x)
       
  a. Toon dat aan.
       
  b. Waar moet Jeroen zijn fiets achterlaten zodat Fred en Jeroen tegelijk thuis aankomen?
       
 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)