© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
Vergelijkingen met breuken.
Bij al dat werken met breuken moet je twee dingen goed in gedachten houden:
1. Je mag niet door nul delen
2. Een breuk is eigenlijk "gedeeld door" en dus ook één geheel.

Nou is er normaal gesproken met breuken geen probleem: een opgave met het getal nul in de noemer zul je niet krijgen.
Het wordt echter link als er een letter in de noemer staat!  Dan zou het maar zo kunnen dat die letter een getal wordt dat de noemer nul maakt. En dat mag niet, zoals we zojuist zagen. Dus zo'n letter in de noemer mag niet zomaar alles meer worden!
Goede wiskundigen kijken naar een opgave en bedenken zich eerst (voordat ze aan het werk gaan) wat de letter allemaal mag zijn.  Hier zijn er drie aan 't werk:

Oké, stel dat we alle blokjes zo veel mogelijk hebben vereenvoudigd.
Wat dan?
Hoe pakken we breuken aan?
Hoe raken we die rotdingen kwijt?

De grote truc is als volgt.
Weet je nog hoe we de vergelijking   3x = 12 oplosten? We moesten ervoor zorgen dat de 3 bij de x vandaan gehaald werd. En dat kon door beide kanten van de balans (het = - teken) te delen door 3. Dan kreeg je  x = 12/3 = 4.

Nou; met breuken gaat het bijna hetzelfde:
Denk aan de balansmethode:  "Als we beide kanten van het  = - teken hetzelfde doen, dan blijft de vergelijking kloppen".
Stel dat er staat x/4 =  20.  Als je die 4 daar weg wilt hebben dan kun je gewoon "keer 4" doen. Immers dan heb je x/4 • 4 en dat is gelijk aan x. Want als je een getal deelt door 4 en het daarna weer keer 4 doet dan komt het getal zelf er weer uit.

Maar nou komt het:  Als je zo graag "keer 4" wilt doen dan moet je wel álle blokjes van de vergelijking keer 4 doen!!!!
In dit geval moet 20 dus óók keer 4. Dat geeft dan  x = 20 • 4 = 80

Als er méér blokjes zijn?
Dan moet je álle blokjes keer 4 doen!
Kijk maar: stel dat je een boel blokjes hebt met ééntje x/4. Dan doe je beide kanten van de balans keer 4.
MAAR DAN WEL DE HELE SCHAAL KEER 4!!!!!

   
Aan de blauwe pijlen kun je zien dat je dan ELK blokje keer 4 moet doen.
   
Voorbeeld 1.
Los op    x + 2 + x2 = x/4 + 72
Alle blokjes keer 4 geeft  4x + 8 + 4x2 = x + 288
En dat is een oude bekende, los hem zelf maar op met de ABC-formule. (er komt uit x = 8  of  x = -8,75)
 
Voorbeeld 2.
Los op:   2x - 3 = 4/(x - 1) + 1

Op de eerste plaats merken we op dat x niet 1 mag zijn: dan staat er delen door nul.
Alle blokjes vermenigvuldigen met (x - 1)  geeft   2x• (x - 1) - 3 • (x - 1) = 4 + 1 • (x - 1)
En nu is 't weer een som zonder breuken. Werk de haakjes maar weg en los hem op (er komt uit x = 3  of x = 0)
Nog wel even controleren dat er niet  x = 1 uitkomt, want dat mag niet!
 
Voorbeeld 3.
Los op:  8/(2x - 1) + 2 = 10/x

Wauw:  TWEE breuken maar liefst  We zien meteen dat x niet  0,5 mag zijn (dan is namelijk 2x - 1 = 0) en niet  0.
Laten we de breuken één voor één wegwerken.
Eerst maar elk blokje vermenigvuldigen met (2x - 1).
Dat geeft   8 + 2•(2x - 1) = 10/x • (2x - 1)
Links kunnen we haakjes weghalen:  8 + 4x - 2 = 10/x • (2x - 1)
Nu elk blokje vermenigvuldigen met  x:   8x + 4x • x  - 2x = 10 • (2x - 1)
rechts ook de haakjes wegwerken en er staat  8x + 4x2 - 2x = 20x - 10

In onze "blokjestaal"  staat dat hiernaast.
De rest is eenvoudig (oplossingen x = 2,5  of x = 1)
Laatste probleem:  Breuken binnen de haakjes
Nu zul je eerst de haakjes moeten wegwerken voordat je de breuken laat verdwijnen.
Het volgende voorbeeld spreekt waarschijnlijk wel voor zich:

Los op:  5(x + 6/x) = 8x + 1.

Het gaat als hiernaast.

In de laatste stap is dus elk blokje vermenigvuldigd met x. Had je eraan gedacht dat x niet gelijk aan 0 mag zijn....?

(de oplossing is trouwens x = 3  of x = -31/3)

   
 
 
OPGAVEN
   
1. Los algebraïsch op:
a.   d.  
             
b.   e.  
             
c.   f.  
             
2. Los algebraïsch op:
             
a.     d.  
             
  b.   e.
             
c.     f.  
3. De politie merkt de laatste jaren dat in weekendnachten het percentage automobilisten dat met alcohol, drugs of lachgas achter het stuur zit, onrustbarend toeneemt.
Men stelt de volgende twee modellen op:
           
 

           
  M is het percentage mannen, V het percentage vrouwen,  t de tijd in jaren met t = 0 in 2015
   
  a. Hoeveel is het percentage vrouwen in 2020 kleiner dan het percentage mannen?
     
  b. Als dit zo doorgaat, wat zal er dan uiteindelijk met de percentages gebeuren?
     
  c. Bereken algebraïsch in welk jaar het percentage mannen gelijk zal zijn aan het percentage vrouwen.
     
           
4. Een fles witte wijn wordt op tijdstip t = 0  (t in tientallen minuten) uit de koelkast gehaald, en in de kamer gelegd.
De temperatuur van de fles neemt vanaf dat moment langzaam toe, volgens de volgende formule:
 

 
 

           
  T is de temperatuur in °C  en  t is de tijd in minuten met t = 0 het tijdstip van het uit de koelkast halen van de fles. De constante a is gelijk aan de kamertemperatuur.
           
  a. Leg uit hoe je aan de formule kunt zien dat a de kamertemperatuur is
           
  Een fles wijn staat in een kamer van 20 °C  en heeft om 18:00 uur een temperatuur van  18 °C
           
  b. Hoe laat is de fles uit de koelkast gehaald?
           
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)