continuiteit

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Continuïteit

De volgende regel vind ik één van de mooiste en duidelijkste afspraken over een wiskundig begrip:

Een functie is continu als je de grafiek ervan kunt tekenen
zonder je potlood van het papier te halen.

Duidelijk! Je snapt meteen wat er bedoeld wordt, toch?

Helaas moeten formele wiskundigen deze prachtige afspraak weer bederven omdat ze hem niet precies genoeg vinden!

Zeikerds!

In de officiële definitie van het continu zijn van een functie wordt er weer gebruik gemaakt van limieten.
Die officiële definitie klinkt als volgt:

Een functie f is continu in punt x = a als:

Ik hoop dat je ziet dat dat eigenlijk dezelfde afspraak is!

•

Als de linkerlimiet en de rechterlimiet beiden gelijk zijn aan f(a) dan loopt de grafiek van beide kanten naar dat punt (a, f(a)) toe.

•

Als de limiet ook nog gelijk is aan f(a) dan zit daar dus geen gaatje, maar bestaat de grafiek daar ook nog, en precies op de plaats waar die twee limieten naar toe lopen.

Samen garandeert dat, dat je bij punt x = a je potlood niet van het papier hoeft af te halen.
Verder noemen we een functie continu op een heel interval als geldt:

f(x) is continu op interval [a, b] als f(x) continu is in elk punt van dat interval.

Kortom: dan kun je de grafiek tekenen op [a, b] zonder je potlood van het papier te halen.

Waar komen we niet-continue functies tegen?

Een groot aantal voorbeelden daarvan hebben we al eerder gezien. Die hebben meestal te maken met verticale asymptoten en perforaties.
We lopen ze nog even langs:

1. Als de functie niet bestaat.

Het eenvoudigste voorbeeld is een wortelfunctie: die heeft een randpunt en bestaat daarbuiten niet, immers je kunt niet de wortel van een negatief getal nemen.

2. Als er een verticale asymptoot is.

Bij een verticale asymptoot zit er een "breuk" in de grafiek. Je kunt hem dus duidelijk niet in één keer tekenen zonder je potlood van het papier te nemen.

3. Als er een perforatie is.

Ook bij een perforatie zul je toch echt je potlood van het papier moeten halen....ook al is het maar heeeeeeel even!

Zo'n functie wordt ook wel ophefbaar discontinu genoemd.
Dat betekent in wiskundetaal dat bij de waarde x = a de linkerlimiet wél gelijk is aan de rechterlimiet, maar dat ze niet gelijk zijn aan de functiewaarde f(a). Dat kan zijn omdat f(a) niet bestaat of omdat f(a) gewoon een andere waarde heeft.
Zoiets dus:

In zulke gevallen kun je gemakkelijk een functie vinden die overal precies gelijk is aan f(x) maar die het gaatje opvult.
Het gaatje dat je moet toevoegen heet de continumakende waarde en de nieuwe functie wordt meestal aangegeven met f^*

4. Als de functie uit meerdere delen bestaat die niet op elkaar aansluiten.

Dat is een beetje een flauw voorbeeld eigenlijk: de functie bestaat eigenlijk uit twee of meer aparte functies met verschillend domein.

Voorbeeld.

De functies f(x) = x² en f(x) = e^x zijn continu, dus voor x < 0 en x > 0 zal deze gecombineerde functie daar ook continu zijn.
Het enige spannende is de continuïteit voor x = 0.

Die limieten zijn niet gelijk, dus de functie is niet continu voor = 0.

Een speciaal geval is het volgende:

Modulus-functies.

We zagen al in een eerdere les dat je bij een modulusfunctie het voorschrift moest splitsen in verschillende delen. Dan kan het dus ook erg makkelijk voorkomen dat zo'n functie niet continu is.

Voorbeeld.

Op de eerste plaats zie je dat 2 invullen niet kan, want dat levert ⁰/₀ op. Voor x < 2 geldt: f(x) = ^{-(x - 2)}/_{(x - 2)} = -1 Voor x > 2 geldt: f(x) = ^{(x - 2)}/_{(x - 2)} = 1

Aan de grafiek hiernaast zie je duidelijk wat er aan de hand is.

Links- en Rechtscontinu.

Voor het continu zijn van een functie was het nodig dat zowel de rechterlimiet als de linkerlimiet naar de functiewaarde zelf naderden.
Het kan natuurlijk ook voorkomen dat slechts één van beiden naar de functiewaarde nadert en de andere niet (of zelfs niet bestaat) In zo'n geval noemen we de functie linkscontinu (linkerlimiet nadert naar f(a)) of rechtscontinu (rechterlimiet nadert naar f(a)).
We zagen dat bijvoorbeeld al bij de wortelgrafiek in het eerste geval van de voorbeelden hierboven.
Die is rechtscontinu in x = 2
Hieronder zie je nog een paar voorbeelden.

OPGAVEN

De functie f wordt gegeven door:

Onderzoek de continuïteit van f.
Gebruik de limietnotatie.

De functie f wordt gegeven door:

Voor welke waarde(n) van a is deze functie continu?
Gebruik de limietnotatie.

De functie f_p wordt gegeven door:

Voor welke p is f rechtscontinu in x = -3?

Voor welke p is f continu in x = -3?

Voor welke a vertoont f asymptotisch gedrag in x = -3?

Gegeven is de functie: f(x) = (x + 1) · | x - 4|
Teken de grafiek en onderzoek de continuïteit

De functie f wordt gegeven door:

Bereken p en q als deze functie ophefbaar discontinu is.
Geef in dat geval ook de functie f ^*