© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Convergeren en Divergeren.
   
Bij veel rijen getallen zie je één van de twee onderstaande effecten optreden.
   

   
In het linkergeval loopt de weggrafiek "naar het snijpunt toe", dat wil zeggen dat in de tijdgrafiek de waarden van un steeds dichter en dichter bij elkaar en bij de waarde van E komen te liggen. Dat heet convergeren (naar elkaar toelopen)
In het rechtergeval lopen in de webgrafiek de punten weg van het punt E, en in de tijdgrafiek zie je dat  de punten steeds verder uit elkaar en verder weg van E komen te liggen. Dat heet divergeren (van elkaar weglopen)
Hieronder zie je dat nogmaals op een iets andere manier.
E  noemen we de evenwichtswaarde of ook wel de limiet van de rij.
   

   
Hetzelfde principe:  bij convergeren lopen de un waarden naar een evenwichtswaarde toe, bij divergeren lopen ze er vanaf.

Hoe vind je die evenwichtswaarde  E?

Nou, dat zie je eigenlijk al aan de figuren hierboven: het is het snijpunt van de lijn y = x met de
recursievergelijking  un = f(un - 1).  Zo' n punt heet een dekpunt.

En ik hoop nou eigenlijk dat je de volgende redenering logisch vindt:

•  Als er evenwicht is, dan veranderen de getallen van de rij niet meer.
•  Dat betekent dat  un  gelijk is aan un - 1
•  Dat is dan ook meteen de evenwichtswaarde E.  

   

evenwicht:     un =  un - 1 = E

dus vervang in de recursievergelijking un en un - 1 beiden door E.
   
Bedenk goed dat deze voorwaarde mogelijke waarden voor een evenwicht oplevert. Het hoeft niet zo te zijn dat dat evenwicht ook werkelijk bereikt wordt, dat heb je in bovenstaande voorbeelden over convergentie en divergentie al wel gezien.
 
Het feit of het evenwicht wel of niet bereikt gaat worden kan erg afhankelijk zijn van de beginwaarde u0.

Hiernaast zie je bijvoorbeeld de recursievergelijking  un = 3un - 1 -  un - 12
Je ziet bijvoorbeeld dat voor de blauwe beginwaarde u0 de rij divergeert, maar voor de groene beginwaarde v0 is er zo te zien convergentie.

Voor niet alle beginwaarden is het even duidelijk wat er precies gebeurt...... We hebben het hier over een relatief nieuw onderdeel van de wiskunde:  de chaostheorie, die eigenlijk pas de vorige eeuw is ontwikkeld.

   
Hiernaast is nóg een leuke variant te zien.
Daar staat de recursievergelijking  un = 4un - 1 - un - 12
Je ziet dat er een waarde voor  u0 te kiezen is, waarvoor de rij  "heen en weer blijft flippen". 
Als un ongeveer gelijk is aan 1,4 of aan 3,6 dan ziet de rij eruit als 
3,6 - 1,4 - 3,6 - 1,4 - .....

Dat heet een alternerende rij.

Zo'n u0 kun je algebraïsch bepalen door te stellen u2 = u0
In dit geval is  u1 = 4u0 - u02  
dus  u2 = 4u1 - u12 = 4(4u0 - u02) - (4u0 - u02)2
De rij alterneert als  u2 = u0  dus als  u0 = 4(4u0 - u02) - (4u0 - u02)2
Y1 = x  en Y2 = 4(4x - x2 ) - (4 - x2)2  en dan intersect geeft de waarden
x ≈ 1,381966  en   x ≈ 3,618034

   
 
 
  OPGAVEN
   
1. Geef van de volgende recursievergelijkingen eerst de mogelijke dekpunten.
Geef vervolgens aan of de rij bij de gegeven waarde van u0 convergeert naar een dekpunt of divergeert.
       
  a. un = 0,6un - 1 + 4  met  u0 = 1
       
  b. un = 2un - 12 - 1  met  u0 = 0
       
  c. un = un  - 13  met  u0 = -1,5
       
  d. un =  2,5√(un - 1 - 1)  met  u0 = 1
       
2. Gegeven is de rij  un = 0,8 + 0,2un - 12
       
  a. Bereken de dekpunten van deze rij.
       
  b. Voor welke startwaarden convergeert de rij naar het kleinste dekpunt?
       
  c. Voor welke startwaarden convergeert de rij naar het grootste dekpunt?
       
3. -
       
  a. Onderzoek met een figuur zo goed mogelijk voor welke waarden van u0 de rij alterneert.
       
  b. Bereken met je GR voor welke waarden van u0 de rij alterneert.
       
4. De rij u0, u1, u2, u3,… is voor n ≥ 1 vastgelegd door de recursievergelijking:
 
       
  a. Bereken exact de limiet van deze rij.  
       
  De eerste termen van de rij u0, u1, u2, u3,… zijn  0,  1/2, 4/3, 6/4, 8/5, ...
Op grond hiervan wordt vermoed dat voor elke n ≥ 0 de volgende formule geldt:  un = (2n)/(n + 1)
       
  b. Toon aan dat  un = (2n)/(n + 1)  voor elke n ≥ 1 voldoet aan de gegeven recursievergelijking.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)