© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
 
Eén- en Tweezijdige toetsen.
   
(in het vervolg wordt met H0 en H1 soms de personen en soms hun beweringen bedoeld).

De vorige les bekeken we het volgende toetsmodel:
 
H0:  p = ....
H1:  p > ...  of   p < ....
   
H0 was degene die iets over een kans beweerde, H1 degene die beweerde dat die kans groter of kleiner was.
Maar het kan natuurlijk ook dat H1 beweert dat die kans NIET gelijk is aan p.
Dus zonder te zeggen of de kans groter of kleiner is.
Eigenlijk beweert hij alleen maar  "NIETES!"

Wat zijn de gevolgen voor het model?

Het nieuwe model wordt in zo'n geval:
   

H0:  p = ....
H1:  p ≠ ....
   
Het enige verschil met het vorige toetsmodel is, dat H1 nu gelijk krijgt als de meting straks heel ver aan de linkerkant óf heel ver aan de rechterkant van het midden van de H0-verdeling  terechtkomt. Dus bij een meting in één van beide rode gebieden in de schets hiernaast krijgt H1 gelijk (terwijl hij dat niet heeft!).

Omdat de kans op een foute conclusie gelijk is aan het significantieniveau α, geldt dus in dit geval dat beide rode gebieden samen kans α hebben.

Alhoewel de figuur niet symmetrisch hoeft te zijn (is íe alleen bij p = 0,5) kiezen we toch de grenzen G1 en G2 zó dat aan beide buitenkanten een oppervlakte 0,5α zit.
De toets heet in zo'n geval Tweezijdig.

   

tweezijdige toets   ⇒  beide kanten 1/2α
   
Voorbeeld.

Bioloog  A beweert dat de kans op roodharigheid niet geslachtsgebonden is. Zijn collega bioloog B beweert dat dat wél zo is. Van de 200 gevonden roodharigen bleek 113 vrouw te zijn en 87 man.
Wie krijgt er met een significantieniveau van 5% gelijk naar aanleiding van deze gegevens?

Noem succes:  "een roodharige is een vrouw"
H0 (bioloog A):  p = 0,5   en  H1:  p ≠ 0,5
De meting gaf  113 successen van de 200.
De overschrijdingskans is 1 - binomcdf(200, 0.5, 112) = 0,038
Dat is groter dan 1/2α (= 0,025)  dus H0 wordt aangenomen.

N.B.
Merk nog op, dat als bioloog B had beweerd dat vrouwen vaker roodharig zijn dan mannen, dat dan de toets éénzijdig was geworden, en dat H0 dan was verworpen!
 
   
 
 
  OPGAVEN
   
1. Iemand gaat aan een quiz op televisie meedoen, waarin zij op het eind 20  JA/NEE vragen moet beantwoorden.
Zij heeft de eerdere afleveringen uitgebreid bestudeert en denkt daaruit te kunnen opmaken dat bij die vragen 60% JA als antwoord heeft en 40% NEE.
Ze neemt zich daarom voor om bij elke vraag die zij niet weet  JA te antwoorden.
Volgens haar echtgenoot is dat allemaal flauwekul en is de kans gewoon 50% op JA en 50% op NEE.

Tijdens de quiz hebben 14 van de 20 vragen JA als antwoord en 6 NEE
       
  a. Wie krijgt naar aanleiding van deze gegevens gelijk bij een significantieniveau van 95%?
       
  b. Bij welke significantieniveaus krijgt haar echtgenoot gelijk naar aanleiding van deze zelfde gegevens?
       
2. Een casinotafel bestaat uit 36 rode vakjes, 36 zwarte vakjes en één groen vakje. De vakjes zijn genummerd van 0 tm 73
Als de tafel goed horizontaal staat afgesteld dan heeft elk nummer een even grote kans om gedraaid te worden.

Men laat de tafel 2500 keer draaien en telt hoe vaak de groene 0 voorkomt.
Dat blijkt 40 keer te zijn.

Mag men naar aanleiding van dit experiment met 10% betrouwbaarheid concluderen dat de tafel niet goed horizontaal staat afgesteld?
       
3. De eigenaar van een kraam met schepijs verkoopt 12 verschillende soorten schepijs.  In het verleden was het altijd zo dat al deze soorten even populair waren.
De eigenaar vraagt zich af of dat aan het veranderen is, en of nu één soort populairder is dan de anderen en duidelijk meer verkocht wordt (en de anderen dus minder).

Hij besluit dat te testen en houdt goed bij hoeveel aardbeienijs-bolletjes hij op één dag verkoopt.
Dat blijken er 38 van de  520  totaal te zijn.
       
  a. Wat is zijn conclusie?  (neem  a = 0,05)
       
  b. Natuurlijk had hij ook bij kunnen houden welke soort het meest verkocht werd. Dat is wel wat meer werk, maar dat geeft misschien ook meer informatie.
Stel dat bananenijs het vaakst verkocht werd en dat dat  52 bolletjes (van de 520 totaal) waren.
       
4. Er is bekend dat van de huidige generatie scholieren 25% een bril of lenzen heeft. 
Een onderzoeker beweert dat teveel lezen slecht is voor je ogen, en daar dus de oorzaak van kan zijn.
Hij wijst op een onderzoek onder een groot aantal scholieren.
In dat onderzoek bleek dat 1250 scholieren NIET meer regelmatig lazen.

Bij welke aantallen brillen/lenzen onder deze 1250 scholieren kan men concluderen dat regelmatig lezen de kans op een bril/lenzen vergroot? Neem een significantieniveau van 5%.
       
5. Een appelteler levert veel van zijn appels aan grote supermarkten. Die appels moeten wel aan strenge kwaliteitseisen voldoen.
Zo moeten de appels van de soort  Golden Delicious voor verkoop aan een supermarkt een diameter van minstens 6,5 cm hebben.
De appels die kleiner zijn worden verkocht om vermaald te worden tot veevoer.
De diameter van de oogst van de Golden Delicious appels is bij een appelteler in een bepaald jaar normaal verdeeld met een gemiddelde van 6,8 cm en een standaardafwijking van 1,2 cm.
       
  a. Toon aan dat de kans dat een appel uit deze voorraad aan de supermarkt geleverd mag worden gelijk is aan  60%.
       
  Op een apart veldje heeft de appelteler datzelfde jaar zijn Golden Delicious bomen extra voedingsstoffen gegeven. Het resultaat is dat er dat jaar van dat veldje maar liefst 1020 van de 1500 appels aan de supermarkt geleverd konden worden.
       
  b. Is er daarmee met een significantieniveau van 5% aangetoond dat de extra voedingsstoffen inderdaad de diameters van de appels vergroten?
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)