© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
De rij van Fibonacci  
     
Laten we direct maar met de deur in huis vallen.
De volgende rij getallen heet de "Rij van Fibonacci"
     

1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - 34 - 55 - ....
       
Ik denk dat je de regelmaat er wel van kunt vinden.
Elk getal is de som van de twee vorigen.
Dat geeft deze recursievergelijking:
 

u(n) = u(n - 1) + u(n - 2)
met  u(1) = u(2) = 1
 
De rij kwam voor het eerst voor in het boek  "Liber Abaci" van Leonardo di Pisa.
bijgenaamd Fibonacci, zoon van Bonaccio, van Guglielmo dei Bonaccio. Hij noemt de rij in zijn boek Liber abaci, Boek over rekenen, uit 1202.

Fibonacci vond de getallen toen hij de voortplanting van konijnenparen bestudeerde.

 
Een paar konijnen van een maand oud is nog te jong om zich te kunnen voortplanten. Maar vanaf de tweede maand krijgt het paar elke maand twee jongen, die zich op hun beurt na twee maanden eveneens gaan voortplanten met twee jongen per maand, enz. Dat geeft zoiets:
       

       
Die gekleurde konijnenparen zijn dus "nieuwelingen"die net geboren worden, alle grijze paren zijn gewoon konijnen die steeds ouder worden.
De rij blijkt op allerlei plekken terug te vinden.
Hieronder vind je er een paar......

1.  Spiralen in de natuur.
       
Rechthoeken die de afmetingen van de rij van Fibonacci gebruiken kun je mooi een vlakvulling maken zoals hieronder. Kijk maar hoe mooi:
       

       
Het past gewoon allemaal netjes in elkaar. Dit is een erg efficiënte manier om een vlak met rechthoeken te vullen.
Geen wonder dat de Fibonacci-getallen ook in de natuur vaak voorkomen. De natuur houdt nou eenmaal van efficiëntie.

Neem bijvoorbeeld de zonnebloem hiernaast.

De zaden daarvan liggen gerangschikt in spiralen.
Maar zoals je ziet zijn er spiralen die tegen de klok in draaien en ook spiralen die met de klok meedraaien

Hoeveel zouden er van elke soort zijn?

       
Tegen de klok in 55, met de klok mee 34.
Waarom verbaast me dat niet dat dat precies twee opeenvolgende Fibionacci-getallen zijn? ZO past het gewoon mooi in elkaar!!!!

En wat een zonnebloem kan kunnen natuurlijk ook veel meer vormen uit de natuur:
       

       
2. Traplopen.
       

       
Ook bij veel telproblemen komen Fibonacci-getallen voor.
Stel dat je een trap oploopt en je neemt daarbij stappen van één of twee treden tegelijk.
Zo dus:

 
Maar het is natuurlijk nog leuker om wat variatie aan te brengen en de stappen van één en van twee treden een beetje willekeurig af te wisselen. Zó bijvoorbeeld:
 

 
De vraag is:  op hoeveel verschillen de manieren kun je met stappen van één of twee treden een trap van n treden oplopen?

Noem dat aantal manieren u(n)

Haal de eerste stap er af.
Er zijn twee mogelijkheden:  die stap was 1 of  2 treden.

Als die stap 1 trede was heb je nu nog een trap van n - 1 treden over, dus die kun je op  u(n - 1) manieren oplopen
Als de stap 2 treden was heb je nu nog een trap van n - 2 treden over dus die kun je op u(n - 2) manieren oplopen.

Het totaal aantal manieren voor de trap van n treden is dus 
u(n) = u(n - 1) + u(n - 2)
 

En daar hebben we de rij van Fibonacci alweer.
       
3.  Fibonacci-klok
 
Voor de echte nerds is er zelfs een Fibonacci-klok. Zie de foto hiernaast.

Alle vlakken zijn steeds rood, groen of blauw.

Rood + Blauw is het aantal uren
Groen + Blauw is het aantal keer 5 minuten.

Op de klok hiernaast is het dus 8:35
rood + blauw = 5 + 2 + 1 = 8 uur
5(groen + blauw) = 5(1 + 1 + 2 + 3) = 35 min
Ga zelf maar na dat je zo elk tijdstip tot op de vijf minuten nauwkeurig kunt weergeven.
       
4. Fibonacci gedicht

Dat is uiteraard een gedicht met aantal lettergrepen per regel 1-1-2-3-5-8-...
Ik kwam ergens de volgende tegen:
       

Ik
leef
op de
grens van de
toekomstige tijd
die me steeds een stapje voor blijft
 terwijl het verleden mij achtervolgt als een droom.
       
De Gulden Snede
       
Een getal dat nauw verbonden is met de rij van Fibonacci is de  Gulden Snede.
Reken maar eens de verhoudingen van twee opeenvolgende termen uit de Fibonacci rij uit:
       
1/1 1
2/1 2
3/2 1,5
5/3 1,67
8/5 1,6
13/8 1,625
21/13 1,615
34/21 1,619
55/34 1,6176
89/55 1,6182
144/89 1,6180
       
Dat loopt langzaam naar een vast constant getal toe:   1,618033989....
Die verhouding noemen we de Gulden Snede, en we gebruiken er het symbool  j  voor
Om precies te zijn geldt:

j  =  1/2 + 1/2Ö5
       
In opgave 2 hieronder kun je deze verhouding zelf afleiden.

Deze verhouding (dus ongeveer 1 : 1,6)  wordt door veel mensen als heel  "mooi" gezien.
Als je heel veel mensen zou vragen wat ze de  "mooiste" rechthoek vinden,
       

       
Dan kiest men gemiddeld voor de rechthoek met verhoudingen 1 : 1,6.
Welke had jij gekozen?
       

       
Geen wonder dat deze verhouding in heel veel schilderijen en foto's terug te vinden is:  Het is nou eenmaal mooi!!!
       

       
En dan vanzelfsprekend ook in veel verhoudingen in de architectuur:  Het is nou eenmaal mooi!!
Kijk maar naar de Eiffeltoren, Het Parthenon en de Notre Dame; de aangegeven stukken hebben verhouding 1 : 1,6.
       

       
 
 
OPGAVEN
       
1. Leuk trucje:

Laat iemand twee getallen onder elkaar schrijven.
Laat de persoon vervolgens beide getallen optellen en het resultaat eronder schrijven.
Laat hem dit steeds herhalen (dus de onderste twee optellen en het resultaat eronder schrijven) totdat er 10 getallen onder elkaar staan. Doe dat zonder dat jij het tussendoor kunt zien.

Nu bekijk jij in één klap alle 10 de getallen en zet direct de som van die 10 getallen eronder!!!!
       
  a. Leg duidelijk uit hoe jij dat met behulp van de rij van Fibonacci in één tel kunt doen! Probeer eens een aantal Fibonacci-rijen met verschillende begingetallen op te schrijven en kijk of je iets opvalt.
TIP:  Let daarbij ook op het zevende getal uit de rij.
       
  b. Toon algebraïsch aan dat de gevonden eigenschap inderdaad altijd klopt.
       
2. In deze opgave gaan we de waarde van de gulden snede afleiden.
       
  Stel dat geldt (waarbij  Fn het  nde Fibonacci-getal is):
 

     
  a. Toon aan dat dan geldt:
 

       
  Maar als de rij inderdaad naar een vaste waarde j nadert, dan moeten die twee verhoudingen gelijk zijn!
       
  b. Toon aan dat daaruit volgt  j  = 1/2 + 1/2Ö5
       
  c. Leg uit waarom elke rij waarin een term gelijk is aan de som van de twee voorafgaande termen, als verhouding naar de gulden snede nadert, onafhankelijk van de twee begintermen.
       
3. Noem de som van de eerste n Fibonacci-getallen gelijk aan  Sn
Noem het nde Fibonacci getal gelijk aan  Fn

Toon dat  S6 = 4 ´ F5  onafhankelijk van de twee getallen waarmee je de rij begint!
       
4. Neem drie opeenvolgende getallen uit de rij.
Vermenigvuldig de eerste met de laatste van de drie gekozen opeenvolgende getallen en vergelijk dat met het kwadraat van het middelste.
Wat valt je op?
Controleer voor verschillende drietallen.

Bewijs de door jou gevonden regel algebraïsch.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)