© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Gebroken Machten.
 
Dit is ons al bekend:  52 = 5 • 5  en  53 = 5 • 5 • 5 en  54 = 5 • 5 • 5 • 5
En zo gaat dat maar door. Het getal in de lucht (de exponent) zegt hoeveel stuks je van het getal op de grond achter elkaar moet schrijven. Makkie. Geen vuiltje aan de lucht.....

Maar nu het probleem van vandaag: 

Als die exponent nou een breuk is?????
Neem bijvoorbeeld  51/2. Wat stelt dat voor?  Moet je dan een halve vijf opschrijven of zo?
Het antwoord komt als je dit "vreemde" getal met zichzelf gaat vermenigvuldigen:  51/2 • 51/2
Uit het rekenen met machten weten we al dat  ga • gb = ga + b  en als we dat hierop loslaten dan vinden we iets wonderbaarlijks:  51/2 • 51/2 = 51/2 + 1/2 = 51 = 5
Kortom:  51/2 is het getal dat, als je het met zichzelf vermenigvuldigt, 5 oplevert. 

Maar dat getal kennen we al!! Dat is √5:

g1/2 = √g
En precies hetzelfde geldt voor andere breuken:

Het nog algemenere geval.
Een voorbeeld zal een boel verduidelijken:  neem g3/4 , dan geldt:

Daarbij hebben we de regel  (ga )b = gab   en de zojuist ontdekte formule voor g1/n gebruikt.
Conclusie:

WAARSCHUWING!
Kijk uit met breuken als macht. Ze zijn erg verraderlijk.
Neem bijvoorbeeld  een onschuldig ogende macht:   g3/4  waarvan we intussen weten dat dat gelijk is aan  de vierdemachtswortel van g3 .
Maar als die g een negatief getal is, dan is  g3 ook negatief en dan bestaat die vierdemachtswortel niet, want een getal tot de vierde kan nooit negatief worden. De enige mogelijke conclusie is, dat g3/4  niet bestaat voor negatieve g

Maar bekijk nu eens g6/8 .
Dat is gelijk aan de "achtstemachtswortel"  van g6. En als g negatief is, dan bestaat die wél, immers g6 is dan positief.

Zijn die wiskundigen nou helemaal GEK geworden?

6/8 is toch precies hetzelfde als 3/4?
Hoe kan het dan dat voor negatieve x-waarden g3/4 niet bestaat maar g6/8 wél?
Het moet ook niet veel gekker worden......!!!!

Er is maar één oplossing:
Om ons wiskunde-bouwwerk consistent te houden spreken we af:

Je moet de exponent van gebroken machten eerst vereenvoudigen
 
 
OPGAVEN
1. Schrijf als één macht van x:
     
  a.
     
  b.
     
  c.
     
  d.
     
  e.
     
  f.
     
  g.
     
  h.
     
  i.
     
  j.
     
  k.
     
  l.
2. Bereken, indien mogelijk, in twee cijfers achter de komma:
         
  a. (-2)3/5
         
  b. (-4)5/6
         
  c. (-2)-4/5
         
  d. (-5)4/10
3.

Schrijf de volgende uitdrukking als macht van 7:
     
 

     
4. Als     25x + 25-x  = 5,     dan is     5x + 5-x = .....
 

a.  1         b.  √5      c.  3        d.   √7      e. 7      
     
  Bereken het juiste antwoord door  5x + 5-x  te kwadrateren
     
5. Welke is de grootste?  Geef een algebraïsche berekening.
   
 

     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)