© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
Een gegeven differentiequotiënt
 
De vorige les bekeken we hoe je een differentiequotiënt kunt berekenen met een formule of aflezen uit een grafiek.  We zagen verder dat de grootte van het differentiequotiënt gelijk is aan de helling van de verbindingslijn.

Natuurlijk kun je de vraag ook andersom stellen:  "Als we het differentiequotiënt weten, kunnen we dan terugvinden op welk interval dat was?"

Ik bedoel daarmee vragen als de volgende:
       
Hiernaast zie je de grafiek van de afstand (in km) die een fietser heeft afgelegd vanaf het tijdstip van vertrek (t = 0, t in uren)
       

       
Je ziet aan de vorm van de grafiek (afnemende stijging) dat de fietser steeds minder snel gaat rijden.
De vraag is:  "Op welk moment heeft hij gemiddeld 15 km/uur gereden?"

We zoeken dus een punt P van de grafiek zodat de gemiddelde snelheid (vanaf het begin gerekend) gelijk was aan 15.
Laten we deze vraag eerst wiskundig stellen:   "Op welk interval [0, p]  was het differentiequotiënt gelijk aan 15?"

aflezen uit de grafiek.

We weten dat het differentiequotiënt gelijk is aan de helling van de verbindingslijn.
Dus we zoeken een punt P van de grafiek zodat de helling van de lijn van P naar de oorsprong gelijk is aan 15.
Nou, da's makkelijk:
       
Begin gewoon vanaf de oorsprong een lijn met helling 15 te tekenen, dan zie je wel waar je uitkomt!!
       
Dat is hieronder gebeurd. De rode lijn heeft helling 15 (gaat bijvoorbeeld door (1, 15) en (2, 30))
       

       
Bij de pijl kun je aflezen dat na ongeveer 1,9 uur de fietser een gemiddelde snelheid van 15 km/uur heeft gehad.
       
met een formule.
       
Als we een formule voor de groene grafiek hebben, dan kunnen we dat tijdstip ook berekenen in plaats van aflezen.
Stel bijvoorbeeld dat die groen grafiek de formule  y = 28,3√(t + 0,2) - 12,66   heeft  (dat is hierboven inderdaad ongeveer het geval).

Je weet natuurlijk dat die rode lijn de formule  y = 15t heeft  (lijn door de oorsprong met helling 15).
Nou, om dat punt P te vinden plot je gewoon beide grafieken in je GR en gebruik je vervolgens intersect:

Y1 = 15X
Y2 = 28,3*√(X + 0,2) - 12,66
calc - intersect.

Dat geeft  t = 1,87 uur
       
       
 
                                       
  OPGAVEN.
       
1. Hiernaast zie je een deel van een grafiek

     
  a. Bereken de gemiddelde toename tussen
x = 6 en x = 12 .
     
  b. Er is een interval [0, p] waarop het differentiequotiënt gelijk is aan  het differentiequotiënt op interval [0,9].
p = 9 is natuurlijk een mogelijkheid, maar welke waarde kan p nog meer hebben?
     
  c. Op welk interval [2, q] is het differentiequotiënt gelijk aan  1,5 ?
     
  d. Bij welke x is de gemiddelde toename vanaf x = 0 maximaal?
       
2. Het aantal personen in Nederland dat een I-pad heeft is volgens verwachting te beschrijven met de formule:

N = -0,005t3 + 0,0006t2 + 0,5t + 2

Hierin is N in miljoenen en de tijd t in jaren met
t = 0 op 1 januari 2004.
     
  a. Bereken met de formule het differentiequotiënt op interval [1, 3]
     
  b. Hoe lang was het aantal mensen met een I-pad groter dan 2,5 miljoen?
     
  c. Er is vanaf t = 2 een interval [2, p] te vinden zodat de gemiddelde toename gelijk is aan  0,2 (miljoen per jaar)
Bepaal met de figuur hiernaast voor welke p dat zo is
       
  d. Op welk tijdstip is, gerekend vanaf t = 0) de gemiddelde toename van het aantal Nederlanders met een I-pad gelijk geweest aan  100000 per jaar? Geef een berekening met bovenstaande formule en ook een benadering met behulp van bovenstaande grafiek.
       
3. Een jachtluipaard is het zoogdier dat de grootste snelheid op land kan halen. Maar  een jachtluipaard houdt die topsnelheid (zo'n 140 km/uur) niet erg lang vol.  Als hij bijvoorbeeld een gazelle wil  vangen, dan zal dat redelijk in het begin van zijn sprint moeten zijn. als het te lang duurt neemt zijn topsnelheid weer snel af. Hij houdt zijn snelheid nog niet eens een minuut vol.
Een gazelle daarentegen  kan veel langer op constante snelheid lopen (zo'n 80 km/uur). 

Hieronder zie je de grafiek van de  afstand die een jachtluipaard tijdens een sprint aflegt uitgezet tegen de tijd.
       
 

       
  Een formule bij deze grafiek is  S(t) = 1,8t2 - 0,03t3  (voor  0 < t < 40)

Op t = 0 begint het luipaard te sprinten naar een gazelle die op dat moment 60 m van hem af is en een constante snelheid heeft van 81 km/uur (dat is 22,5 m/sec). Neem aan dat luipaard en gazelle in dezelfde rechte lijn lopen.
Onderzoek of de jachtluipaard de gazelle zal inhalen, en zo ja wanneer dat gebeurt.
Doe dat op twee manieren:
       
  a. Met de grafiek hierboven.
       
  b. Met de formule hierboven.
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)