© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Horizontale asymptoten.
VRAAG 1:  Wat zijn dat ook alweer?
In het algemeen zijn asymptoten rechte lijnen waar de grafiek van een functie "langs gaat lopen".
Dat betekent dat de grafiek zo'n rechte lijn steeds dichter en dichter nadert, en er willekeurig dicht bij komt, maar hem nooit snijdt.
Horizontale asymptoten zijn uiteraard asymptoten die horizontaal lopen.

Hieronder zie je vier voorbeelden van horizontale asymptoten. De horizontale asymptoot is steeds als rode stippellijn getekend. Een pijl aan de grafiek geeft aan dat daar sprake is van een horizontale asymptoot.

Je ziet dat een grafiek soms aan beide zijkanten een asymptoot heeft, soms maar aan één zijkant.
Verder zie je in de figuur linksonder dat een grafiek de asymptoot best kan snijden. Als de grafiek aan een zijkant maar langs de asymptoot gaat lopen; ergens anders mag hij hem best snijden.
VRAAG 2:  Wat heeft dat met limieten te maken?
Dat hebben we eigenlijk hierboven al ontdekt. Horizontale asymptoten zitten altijd "aan de zijkant van de grafiek"
Eigenlijk zie je in de grafieken bij zo'n asymptoot het volgende verschijnsel:

"Als je x maar ver genoeg naar rechts of naar links kiest,
dan wordt y uiteindelijk een constant getal"
   
Dat geeft een manier om limieten te gebruiken.

Bij verticale asymptoten lieten we x naar een bepaald getal lopen, en dan keken we of er misschien ±¥ uitkwam.
Bij horizontale asymptoten laten we x naar  ±¥  lopen en kijken we of de functiewaarde misschien een constant getal wordt.
Wiskundig samengevat:
   
   
VRAAG 3:  Hoe bereken je limieten met x naar  ±¥ ?
   
Er zijn drie manieren om daar achter te komen.
De eerste twee zijn illegaal voor een wiskunde-B leerling, maar je kunt ze wel gebruiken om stiekem te kijken wat er uitkomt. De derde manier is de manier zoals wij wiskundeleraren het graag op een examen zien.

Manier 1:  Vul gewoon in de GR voor x een heel groot (positief of negatief) getal in.
   
Voorbeeld:   Bereken de volgende limiet:  

 
Oplossing: vul voor x in je GR bijvoorbeeld 10000 in.
Dat geeft  y = 4,9900....
Dat zal dus wel  y = 5 zijn.
(als je het niet vertrouwt neem je x  = 1000000, dat geeft  y = 4,9999....		  
   
Manier 2:  Probeer te beredeneren wat er gebeurt als x heel groot (positief of negatief) wordt.
   
Voorbeeld:   Bereken de volgende limiet:  

 
Oplossing:
Als x heel groot wordt, dan is in de teller de term 10x3 verreweg de grootste, die andere twee zijn eigenlijk wel te verwaarlozen ten  opzichte van x3 
In de  noemer is 2x3 verreweg de grootste,  die 40x2 is misschien best groot, maar te verwaarlozen ten opzichte van 2x3
De hele breuk lijkt dus ongeveer gelijk te worden aan 10x3 in de teller en 2x3 in de noemer
Als je dat deel krijg je y = 5		  
   
Manier 3:  Maak er limieten van die naar nul gaan.
Dat doe je door alles te delen door de hoogste macht van de noemer.
   

Limieten naar ±¥  ?    
Deel alles door de hoogste macht van de noemer!
   
Voorbeeld:   Bereken de volgende limiet:  

 
Oplossing:
De hoogste macht van de noemer is x3
We delen daarom alles door x3		  
   

 
   
Het voordeel zie je meteen.
Je krijgt nu drie termen (de rode cirkels) die naar nul gaan als x naar oneindig gaat.
Dan blijven alleen 10 en 2 over en komt er 5 uit.		  
   
NAWOORD 1
Als je in de oorspronkelijke limiet x naar oneindig laat gaan dan krijg je een boel termen die allemaal naar oneindig gaan En je kunt nou eenmaal wiskundig het ene oneindig niet goed vergelijken met het andere oneindig (dat doet methode 2 eigenlijk)
Maar door die truc van delen door de hoogste macht van de noemer krijg je stukken die naar nul gaan. En nul kun je wél vergelijken met de termen zoals 10 en 2.

NAWOORD 2
Limieten bij  machten en logaritmen zullen we in een latere les nog behandelen.
   
 
 
OPGAVEN

 
1.    Geef de horizontale asymptoten van de grafieken van de volgende functies. Gebruik de limietnotatie.
         
  a.
         
  b.
         
  c.
         
  d.
         
2. Gegeven is de functie:
 

     
  Bereken a en b als de grafiek de asymptoten y = 2 en x = -4 heeft.
   
3. Bereken de volgende limieten:
   
  a.
       
  b.
 
4. Gegeven is de functie:

       
  a. Geef vergelijkingen van alle asymptoten van de grafiek van x
       
  b. De grafiek van f snijdt de horizontale asymptoot in het punt P.
Bereken algebraïsch de coördinaten van P
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)