inverse van een matrix


	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De inverse van een matrix.

Voor getallen is het eenvoudig: Bij vermenigvuldigen is de inverse van 3 gelijk aan ¹/₃ en van 7 is het ¹/₇ en van ¹/₂ is het 2. Dat komt omdat die steeds met elkaar vermenigvuldigd 1 opleveren: 3 • ¹/₃ = 1 en 7 • ¹/₇ = 1 en ¹/₂ • 2 = 1.
Nou, bij matrices doen we precies hetzelfde, alleen moet je dan niet het getal 1 nemen, maar de eenheidsmatrix E.

In het algemeen is E een matrix met op de hoofddiagonaal(die van linksboven naar rechtsonder) allemaal enen en voor de rest nullen. Wat bij getallen het getal 1 is, is bij matrices de matrix E, want er geldt voor elke matrix A dat A • E = A.
De inverse van matrix A noteren we als A^-1 en daarvoor geldt dus, net zoals bij getallen:

A • A^-1 = A^-1 • A = E

De inverse van een 2 × 2 matrix.

Laten we van een matrix A de inverse B gaan berekenen. Dan moet gelden:

Dat geeft 4 vergelijkingen, met de onbekenden b₁, b₂, b₃, b₄:
a₁b₁ + a₂b₃ = 1    ....(1)
a₁b₂ + a₂b₄ = 0    ....(2)
a₃b₁ + a₄b₃ = 0    ....(3)
a₃b₂ + a₄b₄ = 1    ....(4)
(1) geeft b₁ = ^{(1 - a}2^b3⁾/a₁ en dat kun je invullen in (3).

Daarmee kun je dan weer b₁uitrekenen:

Op dezelfde manier kun je van vergelijking (4) maken b₂ = ..... en dat invullen in (2)
Samengevat geeft dat:

Die noemer is in alle vier hetzelfde en is een erg belangrijk getal dat bij een matrix A hoort. Het heet ook wel de determinant van matrix A, meestal afgekort als det(A).

De determinant bepaalt of er een inverse is of niet, immers als de determinant nul is, dan bestaan die b'shierboven niet, dus de inverse ook niet.
Als de determinant nul is dan heet de matrix singulier (in andere gevallen niet-singulier)
Samengevat:

Voorbeeld 1:

Voorbeeld 2.

Vermenigvuldig beide kanten met de inverse van de matrix.

De oplossing van het stelsel is dus a = 10 en b = 5.

De inverse van andere matrices.

Op de eerste plaats moeten we even opmerken dat de inverse van een matrix alleen bestaat als de matrix vierkant is!
Dat zit hem allemaal in de voorwaarde A • A^-1 = A^-1 • A = E

Kijk maar:
Als A • A^-1 moet bestaat dan moet het aantal kolommen van A gelijk zijn aan het aantal rijen van A, en als A^-1 • A moet bestaan dan moet het aantal kolommen van A^-1 gelijk zijn aan het aantal rijen van A.
Dus als A een (p × q) matrix is, dan is A^-1 een (q × p) matrix zijn.
Dan levert A • A^-1 een (p × p) matrix op, en A^-1 • A een (q × q) matrix. Als die gelijk moeten zijn, dan moet wel gelden p = q dus zijn A en A^-1 vierkante matrices met dezelfde afmetingen.

We zijn dus op zoek naar de inverse van een 3 × 3 of 4 × 4 of 5 × 5 of.... matrix.
Daarvoor is het nogal omslachtig om ook zulke vergelijkingen als hierboven op te stellen. Het kan handiger met behulp van schoonvegen. Dat doen we in dit geval door de matrix A samen met E in één nieuwe matrix (A E) naast elkaar te zetten en dan dit totaal met schoonvegen te veranderen in (E B) waarbij dat deel B dan gelijk is aan A^-1.
Dat werkt zó:

Voorbeeld 3.

Hieronder staat in het rood linksboven de gegeven matrix rood met de eenheidsmatrix ernaast. Daarna volgen een aantal schoonveegstappen, en dat eindigt rechtsonder met de inverse matrix groen.

In het blauw staat steeds wat er is gebeurd (R_1,2,3 geeft het nummer van de rij)

Determinant.

De determinant is een belangrijk getal dat bij een matrix hoort, want er wordt door bepaald of er wel een inverse is.
Van een 2 × 2 matrix was de determinant gelijk aan a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁ maar van grotere matrices wordt het al snel erg lastig om de determinant te berekenen.
Een handig hulpje is de methode van Laplace. Die werkt als volgt.

Gebruik het volgende schema van plussen en minnen voor de matrix (hier voorgedaan voor een 5 ´ 5 matrix)

Kies nu willekeurig een rij of kolom, en loop alle plaatsen daarvan langs. Schrijf elke keer het teken op dat er staat met daarachter de determinant van de matrix die je overhoudt als je de rij en kolom die bij de plaats waar je staat horen weglaat.
Dat ziet er, als je bijvoorbeeld de eerste kolom kiest, zo uit:

enzovoort.....

En zo loop je de hele eerste kolom langs. Hier staan de eerste twee van vijf nodige stappen.
Dat geeft dus det(A) = a₁₁ • ( ) - a₂₁ • ( ) + a₁₃ • ( ) - a₁₄• ( ) + a₁₅ • ( )
Daar in die haakjes staat dan steeds de determinant van een 4 ´ 4 matrix. Die kun je met hetzelfde systeem gaan berekenen, waarbij je 3 ´ 3 matrices krijgt, en zo ga je steeds maar door tot je eindelijk bij gewone getallen (1 × 1 matrices) uitkomt.

Voorbeeld van een 3 ´ 3 determinant:
(we schrijven voor de determinant van een matrix die matrix tussen twee rechte strepen, dus det(A) = | A | )

= 2 • (4 - - 6) - 3 • ( 1 - 18) + -4 • (-2 - 24) = 175

Betekenissen van de determinant.

Zoals we al zagen bepaalt de determinant op de eerste plaats of een matrix wel een inverse heeft.
Daarom is de determinant ook erg belangrijk bij het oplossen van vergelijkingen met matrices.

Met de GR

Je kunt je voorstellen dat het bij grotere matrices wel erg veel werk wordt om de determinant en die inverse met de hand uit te rekenen. Gelukkig kan de GR het ook.
Voer de matrix in via het menu 2ND MATRIX EDIT
Gebruik vervolgens 2ND MATRIX 1:[A] en dan x^-1
Je moet wel even scrollen om het hele antwoord te zien:

En als je alleen maar de determinant van een matrix wilt weten dan vind je die (na de matrix te hebben ingevoerd natuurlijk) bij 2ND MATRIX MATH 1:det(

OPGAVEN

Bereken algebraïsch de determinant van de volgende matrices:

Bereken de inverse matrix van de volgende matrices door schoon te vegen: