c
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
Hogere-machtsvergelijkingen.
We hebben het eerder al gehad over vergelijkingen zoals x5 = 8.  Die kon je oplossen door ervan te maken x = 81/5
Deze methode werkt helaas niet als er meerdere x-en in een vergelijking voorkomen die we niet samen kunnen nemen.
Bijvoorbeeld bij   x4 + 3x3 = 0  zal de methode niet lukken.
Voor dit soort vergelijkingen hebben we een nieuwe aanpak nodig.
 

 

Er zijn twee mogelijke manieren om zulke vergelijkingen toch op te lossen.

Methode 1:  Ontbinden.

Deze methode kwamen we al bij kwadraatformules tegen
Even ons geheugen weer opfrissen kan geen kwaad natuurlijk:
 
Voorbeeld:   Los op  2x2  - 7x = 0
In beide termen zit een x dus die kunnen we buiten haakjes zetten.
Dat geeft  x(2x - 7) = 0
Daaruit volgt  x = 0  ∨  2x - 7 = 0
Dus de oplossingen zijn  x = 0  ∨  x = 3,5
   
Deze methode heet ontbinden in factoren en het lukt omdat je "dubbelen" kunt vinden die buiten haakjes gezet kunnen worden.
Nou, dat werkt bij hogeremachts-vergelijkingen precies zo!

Zoek de dubbelen
   
Voorbeeld:
Neem de vergelijking  2x4 - 10x3  + 12x2 = 0
Daar staan eigenlijk drie stukjes, namelijk  2x4  en  -10x3 en  12x2 .
In al die drie stukjes zit x2.

Haal die x2 daarom voor de haakjes. 

Dan blijft er over  x2 • (2x2 - 10x + 12) = 0

Dat is te splitsen in  x2 = 0  en  2x2 - 10x + 12 = 0

Die zijn apart makkelijk uit te rekenen 
(er komt trouwens uit x = 0 of x = 2  of x = 3)

 

  
opmerking:
In het voorbeeld hierboven zou je zelfs kunnen zeggen dat er 2x2 dubbel in al die drie blokjes zit, immers 10 = 2 • 5 en 12 = 2 • 6 dus er zit inderdaad ook een 2 dubbel in alle drie. Je kunt dan ook in één keer 2x2 voor de haakjes zetten en dat geeft  2x2•(x2 - 5x + 6) = 0

Zijn er nog gevaren?

Nou ja, je moet wel even opletten of de oplossingen die je vindt wel mógen! Bij het splitsen zou het kunnen gebeuren dat je bij A = 0 een oplossing vindt waarvoor B helemaal niet bestaat.

Voorbeeld:
x√x + 2√x = 0  heeft als dubbele √x
Buiten haakjes zetten geeft  √x × (x + 2) = 0  en daar staat A • B = 0 
Splitsen geeft  x = 0  of  x = -2
Maar die x = -2 mág helemaal niet, want de wortel van een negatief getal bestaat niet!
De enige oplossing is daarom x = 0

 
Methode 2:  Substitutie.
 
Substitutie betekent letterlijk  "vervanging" en de gedachte erachter is de volgende.
Als je een "blokje" kunt vinden dat vaker in je vergelijking voorkomt, dan zou je dat blokje natuurlijk best door een nieuwe letter mogen vervangen.
Neem bijvoorbeeld de vergelijking  x4 - 13x2 + 36 = 0 
 

Dat is hetzelfde als  (x2)2 - 13x2 + 36 = 0
En nu valt het op dat het "blokje" x2 er vaker in staat.  Je kan de opgave lezen als    (...)2 - 13 • (...) + 36 = 0
Laten we dat blokje een andere naam geven:  noem  x2 = p
Dan staat hierboven  p2 - 13p + 36 = 0
En díe is wél op te lossen:  (p - 9) • (p - 4) = 0  ⇒  p = 9  ∨  p = 4

Maar omdat p gelijk was aan x2 moet dus gelden  x2 = 9  ∨  x2 = 4
Daaruit volgt dan tenslotte  x = 3  ∨  x = -3  ∨  x = 2  ∨  x = -2
 
Oh ja:  het kan natuurlijk ook met gebroken machten....
 
Neem bijvoorbeeld:     x3  - 6x√x - 16 = 0
Op onze blokjesjacht valt op dat  x√x = x1 • x0,5 = x1,5   en x3 is precies daar het kwadraat van.
Noem daarom  p = x√x = x1,5   dan staat er  p2 - 6p - 16 = 0
Dat geeft  (p + 2)(p - 8) = 0  ⇒  p = -2  ∨  p = 8
x1,5 = -2 heeft geen oplossing en  x1,5 = 8 geeft  x = 81/1,5 = 82/3 = 4
 
 
 
  OPGAVEN
 
1. Los algebraïsch op:
     
  a. x4 - 2x3 = 0
     
  b. 12x4 + 3x5 = 0
     
  c. x8 = 8x6
     
  d. x5 - 512x2 = 0
     
2. Los algebraïsch op:
     
  a. x4 + 2x2 - 8 = 0
     
  b. 7x2  + x4 + 10 = 0
     
  c. x4 + 15 = 8x2
     
  d. 2x4 - 10x2 = 28
     
3. Los algebraïsch op:
     
  a. x12 = 3x6 + 4
     
  b. 4x5 - 2x7  = 2x7 - 2x5 
     
  c. x2 √x + 3x√x = 19√x
     
  d. x9 - 5x6 + 6x3 = 0 
     
  e. x6 + 4x4 - 12x2 = 0
     
4. Gegeven is de functie  f (x) = -x3 + 7x + 6

Q is het snijpunt van de grafiek van f met de y-as. De lijn k door Q  evenwijdig aan de x-as snijdt de grafiek ook nog in de punten P en R.

     
  a. Bereken de lengte van PR.  Rond je antwoord af op twee decimalen.
     
  Een familie van functies is gegeven door h(x) = (x + 2)(p + 2x - x2 ), waarbij p elk reëel getal kan voorstellen.
       
  b. Toon aan met behulp van algebra dat er een waarde van p is waarbij de bijbehorende functie h gelijk is aan de functie f.
       
5.
De functie f is gegeven door f (x) = x2 + 16x -2, 
met  x > 0.
In de figuur hiernaast is de grafiek van f getekend.


Een horizontale lijn snijdt de grafiek van f in de punten A en B. De x-coördinaat van A is √2.

Bereken de x-coördinaat van B. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

 

     
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)