© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven
 
       
Betonmortel bestaat uit een combinatie van zand, cement en grind en wordt o.a. gebruikt om betonvloeren aan te leggen. Aan de betonmortel moet water worden toegevoegd, zodat een vloeibare dikke massa beton ontstaat. Die wordt vervolgens op de vloer gegoten en vervolgens laat men het geheel een paar dagen indrogen zodat keihard beton ontstaat.
Voor de hoeveelheid betonmortel  die je nodig hebt om een vloer te maken kun je de volgende formule gebruiken:
   
 

       
  M = benodigde hoeveelheid mortel (in liter)
A = oppervlakte van de vloer  (in m2)
D = dikte van de vloer  (in mm)
R =  restpercentage na indrogen (dit varieert van  0,8 to 0,9)
W = percentage toegevoegd water.
       
  De betonmortel die je wilt gebruiken, wordt verkocht in zakken van 50 liter. Op de zakken staat dat het percentage toe te voegen water gelijk is aan 30%. Je wilt een vloer van 50 mm dikte maken.
       
  a. Bereken hoeveel vierkante meter je met zo’n zak mortel maximaal kunt maken.
       
  Iemand heeft 400 liter betonmortel gekocht met een restpercentage 0,8.  Hij gaat een betonvloer van 60 mm dikte maken.
De oppervlakte A die hij met deze hoeveelheid kan maken hangt nu alleen nog afhangt van het toe te voegen waterpercentage W.  Het verband tussen A en W  is lineair. Bovenstaande formule is dus te herschrijven tot een formule van de vorm A = a • W + b.
       
  b. Bereken a en b.
       
In een wijngaard oogst men elk jaar een groot aantal druiven om wijn mee te maken. Deze druiven worden eerst geperst en daarbij gaat natuurlijk een deel van hun gewicht (bijvoorbeeld pitten en schillen) als afval verloren.

Een bepaalde hoeveelheid druiven levert niet evenveel kg druivensap, want bij het persen gaat een deel verloren.
1 kg druiven levert, afhankelijk van het soort druiven, ongeveer 0,6 tot 0,8 liter druivensap. Deze factor noemt  men de persverhouding P.

Op een dag wil men 350 liter druivensap maken.
       
  a. Bereken de minimale hoeveelheid druivengewicht die daarvoor nodig is.
       
  Vervolgens gaat men het geperste sap in flessen met inhoud  F (liter) gieten die vervolgens met een kurk worden afgesloten. Uiteraard moet er dan boven in de hals van zo'n fles ruimte overblijven voor de kurk, en de flessen kunnen ook niet helemaal tot aan de kurk gevuld worden.

Men gebruikt de volgende formule om het benodigde aantal flessen (A) dat men kan vullen als volgt te berekenen:
       
 

   
  Daarin is D de totale hoeveelheid druivengewicht (kg) die beschikbaar is.

Op een dag wil men een aantal flessen van 0,8 liter gaan vullen van een druivensoort die een persverhouding van 0,7 heeft.  Er is in totaal 1500 kg druivengewicht beschikbaar.
       
  b. Bereken het aantal flessen dat men kan vullen.
       
  Bij een persverhouding van 0,8 kan de formule van A  tot    D = 1,25A · (F - 0,05) worden herleid.
       
  c. Geef deze herleiding.
     
MEER OPGAVEN
       
3. Bij een toets die bestaat uit zeskeuze-vragen wordt het cijfer berekend met de formule:
 

       
  Daarin is g het aantal goed-beantwoorde vragen en v het totaal aantal vragen van de toets.
       
  a. Bij een bepaalde toets heeft iemand 25 vragen goed en daarmee een 8,2 gehaald.
Bereken uit hoeveel vragen die toets bestond.
       
  b. Laat met deze formule zien dat je, als je de helft van de vragen goed hebt, altijd het zelfde cijfer haalt, en bereken hoe hoog dat cijfer is.
       
4.

Naast de gewone spaarrekeningen komen er tegenwoordig steeds meer verschillende spaarvormen bij.
Eén van die spaarvormen is de volgende.

Gedurende een vaste looptijd wordt jaarlijks hetzelfde bedrag gestort tegen een gegarandeerd rentepercentage gedurende de gehele looptijd. Op deze manier spaar je ongemerkt een aardig kapitaal bijeen, terwijl het risico vrijwel nihil is vanwege het gegarandeerde rentepercentage. De formule waarmee het bijeengespaarde eindbedrag berekend kan worden, is:
       
 

       
 

 Hierin is E het eindbedrag in euro’s, T het jaarlijks gestorte bedrag in euro’s, n de looptijd in jaren en R de zogenaamde rentefractie per jaar. Deze rentefractie is éénhonderdste deel van het rentepercentage. Als bijvoorbeeld 4% rente wordt gegeven, dan is het rentepercentage gelijk aan 4 en de rentefractie is 0,04.

Een voorbeeld:   het eindbedrag bij een jaarlijkse storting van  € 50,– en een rente van 3% per jaar is bij een looptijd van 20 jaar gelijk aan  € 1.343,52.

Ga in de volgende vragen uit van een looptijd van 20 jaar.
       
  a. Bereken het eindbedrag bij een jaarlijkse storting van   € 100,–  en een rente van  6% per jaar.
       
  b. Geef bij een rente van 5% per jaar een lineaire formule voor E.
       
5. Examenopgave HAVBO Wiskunde A, 2026-I
 
  Er wordt al jaren onderzoek gedaan naar het leven van palingen. Palingen komen 6000 km van Nederland in de Sargassozee uit het ei en groeien uit tot larven. Tijdens de reis met de Atlantische Golfstroom naar de Europese kust ontwikkelen de larven zich tot glasaal. Vanuit de Noordzee trekken de glasalen naar de Nederlandse binnenwateren om daar uit te groeien tot volwassen palingen.

De lengte van een paling in Nederland kan benaderd worden met de formule:

L = 7,3 + 3t        (formule 1)

Hierin is L de lengte (in cm) en t de tijd (in jaren) die de paling in Nederland doorbrengt. Het gewicht van een paling tijdens zijn verblijf in Nederland kan benaderd worden met de formule:

G = 0,0008 · L3,2049       (formule 2)

Hierin is G het gewicht (in grammen) en L de lengte (in cm).

Na een aantal jaren vertrekken de palingen uit Nederland en zwemmen ze terug naar de Sargassozee om zich daar voort te planten. Mannelijke palingen hebben bij hun vertrek uit Nederland een gewicht van ongeveer 148 gram.
       
  a. Bereken hoeveel tijd deze mannelijke palingen in Nederland hebben doorgebracht. Geef je antwoord in gehele maanden.
       
  De conditie van een paling wordt berekend met de formule:
 
       
  Hierin is C de conditie, G het gewicht (in grammen) en L de lengte (in cm).

Stel dat de lengte van een paling met 50% toeneemt.
       
  b. Bereken met welk percentage het gewicht van deze paling moet toenemen om ervoor te zorgen dat de conditie gelijk blijft.
       
  Door de formules 2 en 3 te combineren, is een formule van de volgende vorm af te leiden:

C = 0,08 · L0,2        (formule 4)

Hierin is C de conditie en L de lengte (in cm).

Het getal 0,2 in formule 4 is een afgerond getal.
       
  c. Bereken dit getal in vier decimalen.  
       
  Voor de gemiddelde zwemsnelheid van een paling geldt:

v = 0,5 · L        (formule 5)

Hierin is v de gemiddelde zwemsnelheid (in cm/s) en L de lengte (in cm).

Ga uit van een paling met een conditie van 0,191.
       
  d. Bereken met de formules 4 en 5 hoeveel dagen deze paling doet over een reis van 6000 km (van Nederland naar de Sargassozee). Geef je antwoord in hele dagen.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)