optimaliseren machten

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Zelf een formule maken.

We weten nu intussen hoe we van een formule de maxima en minima van de bijbehorende grafiek kunnen opsporen. Het grote probleem is echter dat die formules niet zo maar overal kant en klaar voor het oprapen liggen. Meestal krijg je één of ander probleem voorgeschoteld en is het de bedoeling dat je eerst zelf een formule opstelt die de situatie beschrijft.
Dat zelf maken van een formule kun je gelukkig oefenen.

Er zijn eigenlijk twee methode om een formule te maken, en die zullen we stuk voor stuk bekijken.

Neem het volgende probleem:

	Ik wil een konijnenhok achter in de tuin maken. Het hok wordt overal van hout, behalve aan de voorkant, daar komt gaas. De zijkanten van het hok moeten vierkant worden, en de inhoud moet gelijk worden aan 2 m³ . Het hout kost per m² €1,20 en het gaas kost per m² €0,60. Maak een formule voor de materiaalkosten K van het hok, en bereken daarna algebraïsch bij welke afmetingen mijn hok zo goedkoop mogelijk wordt.

METHODE 1: met een getallenvoorbeeld.

Laten we zomaar eens een afmeting van het hok kiezen.
Bijvoorbeeld: Stel dat de zijkant 0,8 bij 0,8 wordt.
Dan kunnen we uitrekenen hoeveel het hok gaat kosten.
Deel je papier in twee stukken en schrijf zo'n berekening op het linkerstuk:

Ga nu ernaast precies dezelfde berekening overnemen, maar elke keer als je het getal 0,8 gebruikt vervang je dat door een B (van breedte). Dat geeft het volgende:

Vooral die tweede regel,is erg lastig; je moet je goed afvragen waar die 3,125 van de linkerkant nou precies vandaan kwam. Hoe je die hebt berekend uit de 0,8.
Nou daar onderaan staat de gezochte formule voor de totale kosten.
Die kan nog wel vereenvoudigd worden, maar je hebt ten,minste al wel iets.
Vereenvoudigen geeft: K = 2,4B² + ^{(4,8B + 2,4B +
1,2B)}/_B² = 2,4B² + ^8,4B/_B² = 2,4B² + ^8,4/_BNog even controleren: B = 0,8 geeft inderdaad K = 12,036

METHODE 2. Direct opstellen.

Deze methode is misschien iets lastiger, maar wel een heel stuk sneller.
Het gaat in twee stappen:

STAP 1
Geef alles wat onbekend is een letter. Wat wil je maximaal/minimaal? Maak daar een formule van.

In dit geval: stel de afmetingen L en B en H (lengte en breedte en hoogte)
Wat wil ik minimaal? de kosten. Dus ik maak een formule voor de kosten:
• links + rechts: 2 • B • H • 1,2 = 2,4BH
• boven en onder: 2 • L • B • 1,2 = 2,4LB
• achter: L • H • 1,2 = 1,2LH
• voor: L • H • 0,60 = 0,6LH
Totaal: K = 2,4BH + 2,4LB + 1,2LH + 0,6LH = 2,4BH + 2,4LB + 1,8LH
Klaar.

STAP 2
Zorg ervoor dat er één letter in je formule komt te staan. Dat doe je door extra gegevens te zoeken en daar extra formules met jouw letters van te maken. Zo gauw je een extra "formule" hebt gevonden kun je die gebruiken om een letter uit de K-formule weg te krijgen. Dat gaat als volgt:

Het voorbeeld zal een boel duidelijk maken over dit principe:

Het valt op dat ik nog niet gebruikt heb dat H = B. Aha! Een extra verband!!
Er staat al H = ... dus ga ik elke H in mijn formule vervangen door B.
Dat geeft K = 2,4BB + 2,4LB + 1,8LB = 2,4B² + 4,2LB
Zo. Dat is een letter minder.

Het valt me nu nog op dat ik nog niet heb gebruikt dat de inhoud 2 moet zijn, dus dat L • B • B = 2.
Aha! Alweer een extra verband!! Ik ga hier L = ... van maken: L = ²/_B²Nu vervang ik elke L in mijn formule door ²/_B²:
dat geeft K = 2,4B² + 4,2 • ²/_B² • B = 2,4B² + ^8,4/_B
En daar is de formule al.

STAP 3: Nu nog even minimaliseren.....

Dat is hopelijk intussen routinewerk: voor minimale kosten moet gelden K' = 0
K = 2,4B² + 8,4 • B^-1
dus K ' = 4,8B - 8,4 • B^-2 = 4,8B - ^8,4/_B²
4,8B - ^8,4/_B² = 0
⇒ 4,8B = ^8,4/_B²
⇒ 4,8B³ = 8,4
⇒ B³ = 1,75
⇒ B = 1,75^(1/3) ≈ 1,21
Dan is H = B ≈ 1,21 en L = ²/_B² ≈ 1,38
De kosten zijn dan K = 2,4 • 1,21² + ^8,4/_1,21 ≈ €10,46
Héhé ik ben eruit: mijn hok wordt 1,21 ×1,21 × 1,38 en gaat €10,46 kosten.

Nog even de stappen op een rijtje:

Bij de volgende opgaven wordt vaak een formule gegeven die je moet aantonen. In die gevallen moet je net doen alsof je de formule zelf moet afleiden. Je mag dus NIET een paar waarden controleren! Dat is voor een wiskundige geen bewijs dat een formule klopt.

OPGAVEN

Weiland omheinen.

Een boer heeft een rol kippengaas van 50 meter lang. Hij wil ermee een stuk land omheinen dat aan een sloot ligt. Het omheinde stuk moet de vorm van een rechthoek krijgen, maar aan de slootkant hoeft geen gaas.

Hij wil graag weten hoe hij het grootste stuk land kan omheinen.

Los dat probleem voor de boer op.

Nog een weiland.

Een tweede boer heeft een sloot met een haakse bocht erin. Precies in die bocht wil hij aan de buitenkant een stuk land omheinen. Zie de figuur hiernaast. Hij wil dat mooi doen: zijn omheinde stuk krijgt een symmetrische L-vorm.
Ook deze boer heeft 50 meter gaas, en wil zoveel mogelijk land omheinen.

Los het probleem voor deze boer op.

Hiernaast staat een kastje voor aan de muur. Het kastje heeft zes vakjes.
De voor- en achterkant zijn open.
Het kastje is gemaakt door een plank van 50 cm breed in stukken te zagen, en is dan ook 50 cm diep.

De plank waar het kastje uit gemaakt is was 600 cm lang.
Stel dat de breedte van het kastje gelijk wordt aan x.
Voor de inhoud van het kastje geldt dan

I (x) = 7500x - 37,5x²

Toon dat aan

Bereken de maximale inhoud van dit kastje.

Hiernaast zie je een afbeelding van een schuurtje dat je achterin je tuin kunt laten zetten.
De lengte is 1,5 keer de breedte.
De opstaande wanden kosten €150,- per m² (inclusief de deur en de ramen)
Het dak is van een duurder materiaal en kost €250 per m²
De kosten van de vloer zijn te verwaarlozen.

Stel dat je graag wilt dat de inhoud van je schuurtje minstens 60 m³ is.
Voor de kosten van het schuurtje geldt dan
K =³⁰⁰⁰⁰/_x + 375x²

Toon dat aan

Wat is dan het goedkoopste schuurtje dat je kunt laten maken?

Een architect ontwerpt voor een gebouw een raampje dat de vorm heeft van een rechthoek met een halve cirkel erop.

De totale omtrek van het raampje wordt 4 m

Om zoveel mogelijk licht door te laten wil de architect de oppervlakte van het raampje graag maximaal hebben
Welke afmetingen m,oet de architect kiezen om onder deze voorwaarden een maximale oppervlakte te krijgen?