overgangsmatrix


Overgangsmatrix	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Het komt erg vaak voor dat de knooppunten van een graaf "toestanden" voorstellen en dat de verbindingslijnen de kans aangeven dat een persoon in een bepaalde tijd van de ene naar de andere toestand gaat. De graaf zelf is dus een al soort VAN-NAAR-graaf met bij de verbindingslijnen kansen (soms procenten, maar dat is natuurlijk hetzelfde).
De wegenmatrix die daarbij hoort noemen we een overgangsmatrix.

Hiernaast zie je de graaf van een natuurgebied waarin drie soorten vegetaties (ecotypen) voorkomen, namelijk Grasland, Struikengebied en Bos. Elk jaar zal een gedeelte van die vegetaties veranderen in een andere. De getallen bij de verbindingslijnen geven de kansen daarop aan.

Zo zie je bijvoorbeeld dat de kans dat grasland in struikengebied verandert gelijk is aan 0,25. Dus zal gemiddeld van al het grasland in een gebied 25% het volgend jaar struikengebied zijn geworden.
Je ziet ook dat van het bos 90% volgends jaar nog steeds bos is (dat is die lus).

Stel dat er dit jaar 100 ha grasland is en 200 ha struikengebied en 300 ha bos. Hoeveel van elke soort zal er dan volgens jaar zijn?
Laten we "met de hand" uitrekenen hoeveel struikengebied er volgend jaar zal zijn.
Van het struikengebied blijft 70% nog steeds struikengebied dus dat is 0,7 • 200 = 140 ha.
Er gaat vanaf het grasland 25% naar het struikengebied, dus dat is nog eens extra 100 • 0,25 = 25 ha.
Tenslotte verandert van het bos 10% in struikengebied, en dat geeft nog eens 0,10 • 300 = 3 ha.
Dus in totaal zal er volgens jaar 140 + 25 + 30 = 195 ha struikengebied zijn.

Maar wat heb je nou berekend?
195 = 0,25 • 100 + 0,7 • 200 + 0,10 • 300
Daar staat een inproduct (rij maal kolom) dus dat kan ook met een matrixvermenigvuldiging.
Hiernaast zie je hoe je in één keer met een matrixvermenigvuldiging de aantallen gras, struiken en bos volgend jaar uit de aantallen dit jaar kunt berekenen.

Denk er goed om: als je de overgangsmatrix opschrijft met VAN bovenaan en NAAR vóóraan, dan moet je de "bevolking"" (dat is de aantallen per categorie) als een kolom nemen.

En als je het over 10 jaar wilt weten? Wat dan?

Omdat je bij een gegeven toestand de volgende toestand steeds kunt berekenen door met de overgangsmatrix M te vermenigvuldigen, kun je de situatie over 10 jaar berekenen door tien keer met M te vermenigvuldigen.
Dan kun je natuurlijk ook gewoon in één keer met M¹⁰ te vermenigvuldigen.

beginsituatie B₀, overgangsmatrix M ⇒ na n jaar is de situatie B_n = Mⁿ• B₀

Dat kan met de GR gelukkig lekker snel:

Over 10 jaar zal de situatie dus ongeveer 50,48 ha gras en 170,47 ha struiken en 379,05 ha bos zijn.

OPGAVEN

Je mag er voor het gemak van uitgaan dat alle aantallen in de volgende vraagstukken geen gehele getallen hoeven te zijn (ook al is dat eigenlijk wel zo).

Een leraar wiskunde controleert elke maandag of zijn leerlingen hun weektaak van de week ervoor hebben gemaakt.
Iedereen begint in de "Beginnersgroep" maar een leerling die zijn taak heeft gemaakt komt in de "Gevorderden groep". En een leerling uit de Gevorderden groep die zijn taak weer afheeft komt in de "Expertgroep"

Zodra een leerling uit de Gevorderdengroep of Expertgroep een week zijn taak niet heeft gedaan gaat hij terug naar de Beginnersgroep.
Na een aantal weken is er een toets en dan krijgen de leerlingen uit de Gevorderdengroep 1 punt extra, en leerlingen uit de Expertgroep zelfs 2 punten extra!!

Geef een verbindingsmatrix van dit systeem.

Het blijkt dat van de Beginnersgroep elke week 60% van de leerlingen weer hun werk niet heeft gedaan. Van de Gevorderdengroep is dat 20% en van de Expertgroep slechts 30%.

Teken met deze gegevens een graaf met gewogen verbindingslijnen. Geef de overgangsmatrix O.

Bereken O³. Wat stelt O³ voor?

Wat betekent het als in O² de som van de getallen in de kolom bij een bepaald knooppunt groter is dan de som van de getallen in de rij van datzelfde knooppunt?

In het begin heeft de leraar in zijn 6 klassen in totaal 160 leerlingen die dus allemaal in de beginnersgroep beginnen..

Bereken met matrixvermenigvuldiging hoe de toestand over 8 weken aar zal zijn. De aantallen klanten hoeven niet geheel te zijn.

Een accountantskantoor heeft als nieuw beleid om het de medewerkers mogelijk te maken thuis te werken in plaats van op het hoofdkantoor. Elke week op vrijdag moet elke medewerker aangeven of hij/zij de volgende week thuis (T) zal werken of op het hoofdkantoor (H)

Na een poosje ontdekt men het volgende patroon:

70% van de mensen die in een bepaalde week thuiswerkte gaat de volgende week wéér thuiswerken. 30% gaat de week erna naar het hoofdkantoor.

55% van de mensen die in een bepaalde week op het hoofdkantoor werkte gaat de week erna wéér op het hoofdkantoor werken. 45% gaat de volgende week thuis werken.

In de eerste week van maart werkt 68% van de mensen thuis en 32% op het hoofdkantoor.

Hoe zal dat 8 weken later zijn?

Hoe zal het aantal thuiswerkers zich ontwikkelen als dit patroon zo blijft bestaan?

Elke jaar weer zijn er met nieuwjaar een aantal mensen die als goed voornemen hebben om te stoppen met roken, en dan inderdaad in januari niet roken.
Door de actie "Stoptober" is dat in de maand oktober weer het geval. Helaas blijkt elke keer dat het jaar daarop (zowel in januari als in oktober) een aantal van deze "stoppers" toch weer rookt.

Een onderzoek onder 4700 mensen in de jaren 2024 en 2025 levert de volgende gegevens:

Uit deze figuur worden twee conclusies getrokken:
Conclusie I: "Het aantal personen dat in 2025 hetzelfde doet als in 2024, (stoppen of starten met roken) blijkt bij oktober iets groter te zijn dan bij januari".
Conclusie II: "In oktober zijn er meer 'rokers' dan 'niet-rokers' terwijl dat in januari precies andersom is".

Toon de juistheid van beide conclusies aan met getallen uit de tabellen van de figuur hierboven.

In het vervolg van de opgave beperken we ons tot de tabel over oktober. Uit deze tabel kunnen we bijvoorbeeld halen dat 3050 personen in 2024 wel cadeaus geven en 1950 personen niet. Deze en andere gegevens uit de tabel zijn gebruikt om de tabel van oktober uit de figuur om te werken tot matrix M:

In deze matrix kun je bijvoorbeeld aflezen dat 86% van de personen die in 2024 in oktober wel rookt, dat ook in 2025 doet.

Laat met een berekening zien hoe men aan het getal 0,14 in de matrix is gekomen.

Uit het onderzoek is bekend hoeveel van de 4700 ondervraagden in 2024 en in 2025 wel of niet rookten in oktober. Men gaat er van uit dat matrix M ook de daarop volgende veranderingen van jaar tot jaar weergeeft. Daarom kan matrix M gebruikt worden om het aantal rokers in oktober in deze groep in de jaren na 2025 te berekenen.

Bereken met behulp van matrix M hoeveel van die 4700 personen in 2035 wel zullen roken.