| |
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|
Grafieken die elkaar raken. |
 |
|
| |
|
Een raaklijn is eigenlijk een
speciaal geval van het veel algemenere geval waarin twee willekeurige
grafieken elkaar raken. Bij de raaklijn is één van beiden een rechte
lijn, maar dat is natuurlijk helemaal niet nodig. Ook twee kromme
grafieken kunnen elkaar best raken.
Daarvoor zijn twee voorwaarden nodig: op de eerste plaats moeten
de grafieken door het zelfde punt R gaan dat lijkt me logisch. Maar
daarnaast moeten in dat punt R hun hellingen ook nog aan elkaar gelijk
zijn, zodat ze echt "langs elkaar" lopen.
Samengevat: |
| |
|
|
De grafieken van
f en g raken elkaar: |
|
|
|
|
1. f
'= g' |
|
2. f
' = g' |
|
|
|
|
|
| |
|
| Stel in zulke gevallen gewoon
twee vergelijkingen op (één voor voorwaarde 1 en één voor voorwaarde 2) en probeer het stelsel vergelijkingen dat je zo
hebt gekregen op te lossen. |
| |
|
Voorbeeld. Voor
welke p raken de parabolen y = x2
+ px + 4 en y = -2x2
+ 4x + p elkaar?
|
Oplossing:
f = g geeft x2
+ px + 4 = -2x2 + 4x + p
f ' = g' geeft 2x + p = -4x
+ 4
De tweede vergelijking geeft p = 4 - 6x en
dat kun je invullen in de eerste: x2 +
(4 - 6x)x + 4 = -2x2 + 4x
+ (4 - 6x)
⇒ -3x2
+ 6x = 0
⇒ x = 0 of
x = 2 en omdat p = 4
- 6x
levert dat
p = 4 of p = -8
Hiernaast staan beide mogelijkheden geplot op de GR.
Verdraaid!
Het lijkt te kloppen! |
 |
|
|
|
| |
|
| |
|
|
|
OPGAVEN |
| |
|
| 1. |
Voor welke p raken de parabolen
y = x2 + px + 2 en
y = -25 - 2x2 elkaar? |
| |
|
|
|
| 2. |
Voor welke p raken de grafieken van
f(x) = 2x3 +
x2
+ p en g(x) = x2
+ 24x + 30 elkaar? |
| |
|
|
|
| 3. |
De grafieken van y =
2√x en y
= x2 raken elkaar niet; ze snijden
elkaar.
Maar je kunt de grafiek van y = x2 wel
net zo ver omhoog schuiven dat hij de grafiek van y
= √x precies raakt.
Hoe ver moet je hem daarvoor omhoog schuiven? |
| |
|
|
|
| 4. |
Gegeven
is de functie f(x)
= x + 8x√x
- x2
Lijn k raakt de grafiek van f in de oorsprong. Door
de grafiek van f over afstand a in horizontale richting te
verschuiven ontstaat de grafiek van g. Het blijkt dat k de
grafiek van g óók raakt.
Bereken in dat geval a. |
| |
|
|
|
|
 |
|
|
|
|
|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|