rekenen met machten


Rekenen met machten (1)

Voor je kunt beginnen aan functies met machten moet je eerst een paar eenvoudige basisberekeningen met machten kennen en kunnen gebruiken.

Eerst wat namen: het getal dat op de grond staat heet het GRONDTAL en het getal dat in de lucht hangt heet de EXPONENT.

1. machten vermenigvuldigen.

Met getallen is het simpel:

3⁵ • 3⁴ = (3 • 3 • 3 • 3 • 3) • (3 • 3 • 3 • 3) = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 3⁹

Waar komt het op neer: Als de grondtallen gelijk zijn kun je machten die met elkaar worden vermenigvuldigd samennemen. Dat doe je door de exponenten op te tellen. In formule:

g^a • g^b = g^a⁺^b

2. machten vermenigvuldigen.

Andersom kan het ook: als de machten gelijk zijn maar de grondtallen verschillend kun je ze ook samennemen, bijvoorbeeld:

3⁴ • 2⁴ = 3 • 3 • 3 • 3 • 2 • 2 • 2 • 2 = (3 • 2) • (3 • 2) • (3 • 2) • (3 • 2) = 6 • 6 • 6 • 6 = 6⁴

In formulevorm:

x^a • y^a = (xy)^a

3. machten van machten.

Als je iets tot-de-macht doet, en dan het resultaat wéér tot de macht gebeurt er dit:
(3²)⁴ = (iets)⁴ = (iets) • (iets) • (iets) • (iets) = 3² • 3² • 3² • 3² = (3 • 3) • (3 • 3) • (3 • 3) • (3 • 3) = 3⁸
Je ziet dat je in dit geval de exponenten met elkaar moet vermenigvuldigen:

(g^a)^b = g^a^{• b}

Vergelijkingen oplossen.

Soms kun je vergelijkingen met machten oplossen door al die machten met het zelfde grondtal te gaan schrijven.
Als het lukt om een vergelijking zó te schrijven:

g^(......) = g^(........)

Waarbij die g's dus gelijk zijn, dan mag je die g-machten weglaten en dan blijft er over
(.....) = (.....)

Voorbeeld:    Los op   4^2x = 8 · 2^x
Oplossing: ga er allemaal machten van 2 van maken!!
4^2x = 8 · 2^x
(2²)^2x = 2³ · 2^x
2^4x = 2^{3 + x}
En nou staat er 2^(....) = 2^(.....) dus dat mag je weglaten:
4x = 3 + x
x = 1,5

Leuk Trucje.

Als je de vergelijking   3^x + 3^x + 3^x = 9^x wilt oplossen, dan kun je van die 9^x ook wel een 3-macht maken, dat gaat zó:
3^x + 3^x + 3^x = 9^x = (3²)^x = 3^2x

Maar nou staan er nog steeds veel te veel machten in de vergelijking.
Maar omdat daar aan de linkerkant drie keer hetzelfde staat mag je ook wel schrijven
3^x + 3^x + 3^x = 3 · 3^x   net zoals zou gelden dat a + a + a = 3 · a
Dan staat er in de vergelijking   3 · 3^x = 3^2x
3^{x + 1} = 3^2x
x + 1 = 2x
x = 1
Klaar!!!!

OPGAVEN

Schrijf de volgende uitdrukkingen in de vorm y = B • g^x en zo eenvoudig mogelijk:


a.	y = 6 • 2^3x
b.	y = 0,125 • 8^x^{+ 3}
c.	y = 5 • 2^3x • 3
d.	y = 2 • 3^x• 3^{x + 2}
e.	y = 2 • 1,5³^x • 4 • 1,5^{x + 2}
f.	y = 0,3^{4x + 2}
g.	y = 10 • 2^{3x + 4}
h.	y = 3^x • 3^4x• 5
i.	y = 5^x • 2 • 5^x+3
j.	y = 2 • 5^x + 5^{x + 1}

De functies f en g zijn gegeven door f(x) = 3^{4x - 2} en g(x) = 3 • 3^x
Bereken op algebraïsche wijze de coördinaten van het snijpunt van de grafieken van f en g.

Schrijf zo eenvoudig mogelijk als a^b:

Hoeveel gehele waarden van x voldoen aan: 2^{x
+ 4} • 8^{x
+ 4} = 4^{2x + 8} ?

Gegeven zijn de functies f(x) = 8^x- 2^x en g(x) = 3 · 2^x

Bereken op algebraïsche wijze de coördinaten van het snijpunt van de grafieken van f en g.