rekenen met machten

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Rekenen met machten (1)

Voor je kunt beginnen aan functies met machten moet je eerst een paar eenvoudige basisberekeningen met machten kennen en kunnen gebruiken.

Eerst wat namen: het getal dat op de grond staat heet het GRONDTAL en het getal dat in de lucht hangt heet de EXPONENT.

1. machten vermenigvuldigen.

Met getallen is het simpel:

3⁵ • 3⁴ = (3 • 3 • 3 • 3 • 3) • (3 • 3 • 3 • 3) = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 3⁹

Waar komt het op neer: Als de grondtallen gelijk zijn kun je machten die met elkaar worden vermenigvuldigd samennemen. Dat doe je door de exponenten op te tellen. In formule:

g^a • g^b = g^a⁺^b

2. machten vermenigvuldigen.

Andersom kan het ook: als de machten gelijk zijn maar de grondtallen verschillend kun je ze ook samennemen, bijvoorbeeld:

3⁴ • 2⁴ = 3 • 3 • 3 • 3 • 2 • 2 • 2 • 2 = (3 • 2) • (3 • 2) • (3 • 2) • (3 • 2) = 6 • 6 • 6 • 6 = 6⁴

In formulevorm:

x^a • y^a = (xy)^a

3. machten van machten.

Als je iets tot-de-macht doet, en dan het resultaat wéér tot de macht gebeurt er dit:
(3²)⁴ = (iets)⁴ = (iets) • (iets) • (iets) • (iets) = 3² • 3² • 3² • 3² = (3 • 3) • (3 • 3) • (3 • 3) • (3 • 3) = 3⁸
Je ziet dat je in dit geval de exponenten met elkaar moet vermenigvuldigen:

(g^a)^b = g^a^{• b}

Vergelijkingen oplossen.

Soms kun je vergelijkingen met machten oplossen door al die machten met het zelfde grondtal te gaan schrijven.
Als het lukt om een vergelijking zó te schrijven:

g^(......) = g^(........)

Waarbij die g's dus gelijk zijn, dan mag je die g-machten weglaten en dan blijft er over
(.....) = (.....)

Voorbeeld: Los op 4^2x = 8 · 2^x
Oplossing: ga er allemaal machten van 2 van maken!!
4^2x = 8 · 2^x
(2²)^2x = 2³ · 2^x
2^4x = 2^{3 + x}
En nou staat er 2^(....) = 2^(.....) dus dat mag je weglaten:
4x = 3 + x
x = 1,5

Leuk Trucje.

Als je de vergelijking   3^x + 3^x + 3^x = 9^x wilt oplossen, dan kun je van die 9^x ook wel een 3-macht maken, dat gaat zó:
3^x + 3^x + 3^x = 9^x = (3²)^x = 3^2x

Maar nou staan er nog steeds veel te veel machten in de vergelijking.
Maar omdat daar aan de linkerkant drie keer hetzelfde staat mag je ook wel schrijven
3^x + 3^x + 3^x = 3 · 3^x   net zoals zou gelden dat a + a + a = 3 · a
Dan staat er in de vergelijking   3 · 3^x = 3^2x
3^{x + 1} = 3^2x
x + 1 = 2x
x = 1
Klaar!!!!

OPGAVEN

Schrijf de volgende uitdrukkingen in de vorm y = B • g^x en zo eenvoudig mogelijk:


a.	y = 6 • 2^3x

b.	y = 0,125 • 8^x^{+ 3}

c.	y = 5 • 2^3x • 3

d.	y = 2 • 3^x• 3^{x + 2}

e.	y = 2 • 1,5³^x • 4 • 1,5^{x + 2}

f.	y = 0,3^{4x + 2}

g.	y = 10 • 2^{3x + 4}

h.	y = 3^x • 3^4x• 5

i.	y = 5^x • 2 • 5^x+3

j.	y = 2 • 5^x + 5^{x + 1}

De functies f en g zijn gegeven door f(x) = 3^{4x - 2} en g(x) = 3 • 3^x
Bereken op algebraïsche wijze de coördinaten van het snijpunt van de grafieken van f en g.

Schrijf zo eenvoudig mogelijk als a^b:

Hoeveel gehele waarden van x voldoen aan: 2^{x
+ 4} • 8^{x
+ 4} = 4^{2x + 8} ?

Gegeven zijn de functies f(x) = 8^x- 2^x en g(x) = 3 · 2^x

Bereken op algebraïsche wijze de coördinaten van het snijpunt van de grafieken van f en g.