Riemannsommen

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De oppervlakte onder een grafiek.

Stel dat we graag de oppervlakte tussen x = 0 en x = 8 onder de grafiek van de functie f(x) = 2 + 2√x willen bepalen.
Dat is de grijze oppervlakte hieronder.

Dan zou je daar een schatting van kunnen maken dor er allemaal rechthoekjes onder te tekenen:

In de tweede wordt deze oppervlakte benaderd door acht groene rechthoekjes. De werkelijke oppervlakte is natuurlijk groter, want we zien daar boven tegen de grafiek aan een aantal "gaatjes", maar als we deze negen rechthoekjes uitrekenen hebben we al wel een aardig idee van de juiste oppervlakte. Een soort van schatting dus.

De hoogte van een rechthoekje is steeds te berekenen doordat het de y is die bij de x van de linkerkant hoort:

rechthoekje 1 heeft hoogte f(0) = 2 + 2√0
rechthoekje 2 heeft hoogte f(1) = 2 + 2√1
rechthoekje 3 heeft hoogte f(2) = 2 + 2√2
....

De breedte van de rechthoekjes is steeds 1, dus de totale oppervlakte wordt:

f(2) f(3) f(4) f(5) f(6) f(7)

Daar komt uit 2 + (2 + 2√1) + (2 + 2√2) + ... + (2 + 2√7) ≈ 42,96
Op je TI-83 gaat dat het snelst zó:

STAT - EDIT
in L1 zet je de getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
ga op de naam L2 staan en druk op ENTER, dan kom je onder in beeld.
voer in L2 = 2 + 2√(L1)
2nd - QUIT en dan 2nd - LIST - MATH - sum(L2) geeft het antwoord

Somnotatie

Deze uitdrukking:

f(2) f(3) f(4) f(5) f(6) f(7)

Kun je wat wiskundig verantwoorder en ook korter opschrijven..
Dat gaat als volgt:

Daar staat het volgende:
•   Er is een tellertje i en dat loopt van 0 t.m.7
•   Bereken elke keer f(i) × 1
•   Tel vervolgens die allemaal bij elkaar op (dat S teken betekent "neem de som")

Verfijning

Natuurlijk is deze benadering nog erg grof, en is de schatting nog steeds te laag.
Maar je zou de schatting al beter kunnen maken door de staafjes smaller te maken.

Zie de figuur hiernaast. De afwijkingen van de "echte" grafiek zijn al veel kleiner.

Nu geldt voor de totale oppervlakte

0,5 × f(0) + 0,5 × f(0,5) + 0,5 × f(1,0) + ... + 0,5 × f(7,5)
In de somnotatie noteer je dat als:

En zo kunnen we steeds nauwkeuriger gaan werken:

De breedte dx van de rechthoekjes wordt steeds kleiner en daardoor wordt de oppervlakte steeds nauwkeuriger benaderd.
Op het laatst zie je haast niet meer de afzonderlijke rechthoekjes, maar één grote groene vlakte.
Als we die rechthoekjes klein genoeg hebben dan geven we dat aan door die "hoekige" somnotatie te veranderen in een wat vloeiender S-figuur:

Je ziet dat ook de hoekige Dx vervangen is door dx.

Deze laatste notatie heet een integraal.
Daarbij moet je je goed bedenken dat we die dx (de breedte van de rechthoekjes) liefst zo klein mogelijk willen hebben. Maar dx helemaal nul nemen dat kan niet want dan blijft er geen oppervlakte over. Eigenlijk willen we het liefst, zoals in het bovenstaande verhaal eigenlijk is gebeurd, de dx "naar nul laten naderen".

Met de GR

Zoals wel vaker kan de GR al dit werk voor je doen,
En dan bedoel ik niet door al die getallen in de lijsten te zetten. Je GR kan in één keer een zo klein mogelijke dx kiezen en dan als een haas als die oppervlaktetjes uitrekenen en bij elkaar optellen.

Dat gaat in bovenstaand voorbeeld zó:

Zet de formule in Y1 en zorg dat je de grafiek in beeld hebt.
Gebruik CALC - 7: ∫ f(x)dx
De rekenmachine vraagt nu: Lower Limit? Dan moet je de linkergrens van het gebied invullen (in dit geval X = 0)
De rekenmachine vraagt dan: Upper Limit? Dan moet je de rechtergrens van het gebied in vullen ( in dit geval X = 8)
Vervolgens berekent de GR de oppervlakte onder de grafiek van Y1 tussen beide grenzen.

Ga maar na dat daar in dit geval 46,17 uit komt.

*Voorbeeld.* Hiernaast staat de grafiek van y = 8x - x³ en de lijn y = 5 Bereken de grijze oppervlakte hiernaast.
Oplossing: Bereken eerst de snijpunten tussen beide grafieken. Dat geeft (ongeveer) x = 0,66 en x = 2,44 Oppervlakte A hieronder is dus 8,89 Met de GR vind je de oppervlakken A en B samen, want dat is de oppervlakte onder de grafiek. Dat geeft A + B = 13,25 De grijze oppervlakte is dus 4,36

OPGAVEN

1.	a.	Bereken de oppervlakte onder de grafiek van y = x² + 4x tussen x = 4 en x = 8

	b.	Bereken de oppervlakte onder de grafiek van y = √(6 - x) tussen x = 3 en x = -1

	c.	Bereken de oppervlakte onder de grafiek van f(x) = 4x + 2x√x + 3 tussen x = 2 en x = 5

2.	Schrijf de volgende oppervlakten met integraalnotaties:



3.	Bereken de oppervlakte hiernaast.

4.	Koen wil de oppervlakte onder de grafiek van y = 27 - x² tussen x = 0 en x = 9 uit gaan rekenen. In zijn rekenmachine voert hij in: • Y1 = 27 - x² • calc - 7: ∫ f(x)dx • lower limit: X = 0 • upper limit X = 9 Tot zijn verbazing krijgt hij als antwoord: -5,85E-13 dus dat is -0,000000000000585 Klopt dat wel?

	a.	Wat is er fout gegaan?

	b.	Hoe zou Koen dit probleem kunnen oplossen?

5.	De functies f en g zijn gegeven door: f(x) = 6 - 2√x en g(x) = 16 - 8√x V is het gebied dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g , de x-as en de y-as. Zie de figuur hiernaast. Bereken de oppervlakte van V. Geef je eindantwoord in twee decimalen.


© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)