som meetkundige rij

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De som van een meetkundige rij.

Bij een rekenkundige rij was het vrij eenvoudig een formule te maken voor de som. Bij een meetkundige rij is dat helaas een stukje lastiger. Maar niet onmogelijk natuurlijk.
Oké, handen uit de mouwen dan maar.....

Een meetkundige rij ziet er in het algemeen uit als: b, ab, aab, aaab, aaaab, ...
Die b is het begingetal (afhankelijk van het verhaaltje u₀ of u₁), en die a is het "vermenigvuldiggetal" en heet ook wel de reden van de rij.
De rij kun je natuurlijk wat netter (en korter) schrijven als: b, ab, a²b, a³b, a⁴b, ...
Laten we de som van de eerste n termen van deze rij S_n noemen, dan geldt dus:

S_n = b + ab + a²b + a³b + a⁴b +... + aⁿb

Die S_n is niet zomaar uit te rekenen, maar er gebeurt iets leuks als we deze hele som met a vermenigvuldigen.
a • S_n = a • (b + ab + a²b + a³b + a⁴b +... + aⁿb) = ab + a²b + a³b + a⁴b + a⁵b + ... + a^{n +}¹b

"Nou nou, wat is hier leuk aan? Het wordt er alleen maar moeilijker van" hoor ik je al denken.
Maar kijk wat er gebeurt als we die S_n en a • S_n onder elkaar schrijven:

aS_n

= ab + a²b + a³b + a⁴b + ... + aⁿb + aⁿ⁺¹b

S_n

= b + ab + a²b + a³b + a⁴b + ... + aⁿb

Daar staat bijna hetzelfde!
Als je de onderste rij nu van de bovenste rij aftrekt, valt bijna alles weg, alleen die laatste term van de bovenste rij en die eerste term van de onderste rij blijven over:

aS_n - S_n = aⁿ^{+ 1} b - b ⇒ S_n • (a - 1) = aⁿ^{+ 1}b - b

En daar is onze formule voor de som van een meetkundige rij al! b was het eerste getal van de rij, en b • aⁿ⁺¹ is het volgende getal van de rij (de eerste term die niet bij de som wordt genomen). Verder was a de reden van de rij.
Daarmee wordt onze formule in woorden:

De reden (J) dat je deze formule beter met woorden dan met variabelen kunt onthouden, is dat het op deze manier niet uitmaakt of je de eerste u₀ of u₁ noemt. Dat deden we bij een rekenkundige rij ook al, weet je nog?

Oneindige Sommen

Het aparte aan zulke meetkundige rijen is, dat ook uit de som van een oneindig aantal termen soms toch een "gewoon"getal komt. Als namelijk de reden kleiner dan 1 is, dan worden de termen steeds kleiner, en dan zal bij oneindig veel termen de "volgende" term naar nul gaan.

Voorbeeld. Dit is een hele beroemde meetkundige rij: 1 + ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ + ..... In het plaatje hiernaast zie je al dat hier 2 uitkomt! Leuk hè? Oneindig veel getallen die samen toch gewoon 2 opleveren. Ook met onze somformule kun je dat zien: eerste = 1, reden = 0,5 en volgende = 0 Dat geeft S_∞= ^{(0 - 1)}/_{(0,5 - 1)}= 2

OPGAVEN

1.	Bereken de volgende sommen:

	a.	2 + 8 + 32 + 128 + 512 + ... + 2097152

	b.	256 + 384 + 576 + 864 + ... + 6561

	c.	10000 + 8000 + 6400 + 5120 + ... + 2097,152

2.	Hiernaast zie je de "boom van Pythagoras" die bestaat uit gekleurde vierkanten. Het onderste vierkant heeft zijden van 6 cm. Door op een vierkant steeds gelijkzijdige rechthoekige driehoeken te tekenen ontstaan uit elk vierkant twee nieuwe vierkanten. Elke volgende serie vierkanten is in de figuur hiernaast steeds lichter gekleurd.

	a.	De zijden van de opeenvolgende vierkanten vormen een meetkundige rij. Bereken de reden r.

	b.	Bereken de hoogte van de onderste 10 kubussen samen. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig

	Hoe lang je ook door zou gaan met tekenen, de verticale afstand van de bodem van de boom tot het hoogste punt ervan nadert naar een grenswaarde G.

	c.	Bereken deze G.

	d.	Bereken ook de grenswaarde voor de omtrek van alle getekende vierkanten samen. Rond je antwoord af op twee decimalen.

3.	Een heimachine slaat een betonnen paal de grond in. Bij de eerste klap gaat de paal 180 cm de grond in. Bij elke volgende klap gaat de paal 20% minder de grond in dan bij de vorige. Hoe ver kan de heimachine een paal maximaal de grond in slaan?

4.	In een vijver zit een groot aantal karpers; maar liefst 12000. Een groepje sportvissers gaat elke zaterdag karpers vangen. De eerste zaterdag vangen ze maar liefst 120 karpers, maar de volgende zaterdagen wordt dat steeds minder (want het aantal karpers wordt minder door al dat gevis). Het blijkt dat elke zaterdag nog maar 90% van de vorige zaterdag wordt gevangen. Neem voor het gemak in deze opgave aan dat het aantal karpers niet geheel hoeft te zijn, en dat er geen karpers bijkomen of op een andere manier doodgaan.

	a.	Op welke dag vangt de groep vrienden voor het eerst minder dan 50 karpers?

	b.	Hoeveel karpers worden in totaal in de eerste tien weken gevangen?

	c.	Na hoeveel dagen zijn er minder dan 10000 karpers over?

	d.	Hoeveel karpers zullen er uiteindelijk in de vijver overblijven?