vectoren

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Vectoren.

We gaan het hebben over verplaatsingen.
In het vlak hiernaast zou je je van A naar B kunnen verplaatsen, of van C naar D, of van E naar F, of van G naar H.
Ik hoop dat je ziet dat één van die verplaatsingen anders is dan de andere drie. Dat zie je het duidelijkst als je pijlen tussen de punten tekent. Die pijl van C naar D is anders dan de andere drie (andere richting en andere lengte).
Zo'n verplaatsing (of als je wilt zo'n pijl) heet in de wiskunde een "vector".
Je kunt zo'n vector aangeven door beginpunt en eindpunt te noemen en daar een pijltje boven te zetten (dat pijltje is nodig omdat je anders misschien in de war komt met het lijnstuk AB).

Als je niet alleen wilt aangeven welke vectoren gelijk zijn, maar ook wilt aangeven hoe groot zo'n vector nou is, en welke richting hij heeft,

dan kun je dat doen door de verplaatsing in de x-richting en de verplaatsing in de y-richting te noemen, en die onder elkaar tussen haakjes te zetten. Dus in dit voorbeeld zó:

Die getallen heten de kentallen van de vector. Samen leggen ze zo'n vector helemaal vast. Onthoud goed dat het bovenste kental de verplaatsing in de x-richting geeft, en het onderste de verplaatsing in de y-richting. Een negatief kental betekent een verplaatsing naar links/omlaag, dat had je waarschijnlijk wel geraden.

Zo'n vector is dus bij ons wiskundigen een "pijl" of een "verplaatsing". Het wordt ook wel een translatie genoemd. Maar eigenlijk kan het alles zijn wat een grootte en een richting heeft. Natuurkundigen beschrijven bijvoorbeeld een kracht of een snelheid ook met een vector (die hebben immers ook een grootte en een richting).

OK. Dat waren een boel afspraken. Even samengevat:

• Een vector is een verplaatsing (een pijl, een translatie).
• Een vector heeft een grootte en een richting.
• Je kunt een vector op twee manieren aangeven:

Vectoren optellen.

Vraag jezelf af hoe je verplaatsingen zou optellen.

Als je (zie de figuur hiernaast) eerst een verplaatsing zoals van A naar B zou toepassen en daarna nog een verplaatsing zoals van C naar D, wat voor totale verplaatsing heb je dan gedaan?

Bedenk goed, dat het alleen maar gaat om de verplaatsing, niet om een beginpunt of eindpunt. Dat mag alles zijn.

Hiernaast zijn voor vier verschillende beginpunten S (start) de rode en de blauwe vector na elkaar toegepast.
Dat levert als totaalverplaatsing de groene vector op, van Start naar Finish.

Je ziet dat die groene verplaatsing steeds hetzelfde is.
Je krijgt die groene pijl door de rode en de blauwe achter elkaar aan te leggen, het beginpunt van de blauwe aan het eindpunt van de rode. Dat noemen we de kop-aan-staart methode.
In de letternotatie zou dat dit opleveren:

Denk erom dat die P wel dezelfde letter moet zijn, anders liggen de vectoren niet kop-aan-staart.

Met kentallen kan het natuurlijk ook.
De totale x-verplaatsing is hoeveel de eerste vector in de x-richting verplaatst, plus hoeveel de tweede vector daar nog een bijop doet. En voor de y-verplaatsing geldt hetzelfde. Ofwel: je mag de kentallen gewoon bij elkaar optellen.

Vectoren optellen:

1.	kop-aan-staart methode
2.

Een vector met een getal vermenigvuldigen.

Ook dat is met verplaatsingen makkelijk te snappen. Als je de verplaatsing van A naar B met 3 wilt vermenigvuldigen, dan leg je die pijl gewoon drie keer achter zichzelf (kop-aan-staart).

En met kentallen nog eenvoudiger: vermenigvuldig beide kentallen met 3.

En een vector delen door een getal gaat heel makkelijk als je je maar bedenkt dat delen door getal c precies hetzelfde is als vermenigvuldigen met getal ¹/_c.

Vectoren van elkaar aftrekken.

Als je de tweede verplaatsing niet bij de eerste wilt optellen maar er van aftrekken, dan moet je dus juist het omgekeerde doen. Ofwel: die tweede pijl moet je in de andere richting volgen.
Je kunt ook zeggen : je vermenigvuldigt de tweede pijl met -1 (omdraaien) en legt hem dan kop-aan-staart met de eerste. Eigenlijk hetzelfde als bij getallen: 8 - 3 = 8 + (-3)

Een vector tussen twee punten.

Stel dat je de coördinaten van twee punten P en Q hebt, en je wilt de kentallen van de vector daartussen weten.

Dat is die rode vector PQ in de figuur hiernaast.

Maar omdat een vector een "verplaatsing" is, zijn we dus eigenlijk net zo goed op zoek naar de vector hiernaast met de vraagtekens (dat is PQ , naar dan in de oorsprong neergelegd)

Hoe drukken we de kentallen van die vector uit in de coördinaten van P en Q

De coördinaten van P en Q zijn natuurlijk de kentallen van de vectoren OP en OQ.

In de figuur hiernaast zie je met de kop-aan-staart-methode dat OR = OQ + QR

Maar QR is dezelfde vector als -OP (het is OP de andere kant op)

Dus er geldt OR = PQ = OQ - OP

Dat is de moeite waard om te onthouden:

Voorbeeld. ABCD is een parallellogram met A = (1, 2) en B = (5, 4) en C = (6, 7) Geef de coördinaten van het snijpunt S van de diagonalen van dit parallellogram. *Oplossing met vectoren.* S is het midden van AC, dus er geldt:

Dus S is het punt (3.5, 4.5)

Vectoren met elkaar vermenigvuldigen.

Ik snap dat je daar erg benieuwd naar bent, maar dat onderwerp moet nog even tot later wachten.
Sorry, we moeten eerst wat meer over vectoren weten........

OPGAVEN

Ik heb lekker geen schaalverdeling gegeven, want je mag geen berekeningen maken.
Teken ergens in deze figuur de volgende vectoren:

Bereken daarmee de kentallen van de vectoren uit de vorige vraag.

Gegeven zijn het punt P(x_p, y_p) en Q(x_q, y_q)
O is de oorsprong.
Geef de kentallen van de volgende vectoren, uitgedrukt in x_p, y_p, x_q, y_q

Leg uit of de volgende vectoren evenwijdig zijn of niet:

Gegeven zijn de punten A = (2, 6) en B(5, 10)
Punt C ligt op AB zodat AC : CB = 3 : 5
Bereken de coördinaten van punt C