werken met breuken

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Breuken.

Het is eigenlijk allemaal heel eenvoudig met die algebra: als je weet hoe het met getallen moet, dan doe je het met letters gewoon precies zo!

Gewoon na-apen!

We zullen drie bewerkingen met breuken gaan bekijken, en elke keer wat er gebeurt met getallen precies nadoen met letters. Die bewerkingen zijn vermenigvuldigen, vereenvoudigen en optellen.

1. Vermenigvuldigen van breuken.

Op de basisschool was het simpel: als je breuken vermenigvuldigt moet je doen "teller × teller en noemer × noemer".

vermenigvuldigen:

teller × teller
noemer × noemer

Dat betekent bijvoorbeeld dat:

Nou, laten we dat dan ook maar precies zo met letters doen:

Vooral die laatste is interessant; daar zie je dat een "gewone" letter in een blokje waar ook breuken in staan eigenlijk hoort bij de teller van die breuken. Dat kun je snappen door er "éénde" van te maken, en dan komt dat gewone getal dus bij de teller terecht. Net zoals 5 • ²/₇ = ¹⁰/₇ is ook 4 • ²/_x = ⁸/_x en 8 •^x/₃ = ^8x/₃

Een gewoon getal is eigenlijk een TELLER (de noemer is 1)

Dat zul je vooral vaak gebruiken als er ergens breuken tussen haakjes staan. Hier zie je een voorbeeld met onze "blokjesmethode". We bekijken de uitdrukking 5 • (x + ⁶/_x). Let op dat die 5 daar voor de haakjes bij die teller 6 terecht komt!!!

2. Vereenvoudigen van breuken.

Kijk naar het plaatje hiernaast. Het illustreert wat er het vaakst fout gaat met het vereenvoudigen van breuken. Dat is

De ziekte van het "wegstrepen"!!

Wegstrepen is ook helemaal niet het juiste woord voor wat er gebeurt bij het vereenvoudigen van breuken. Hier staat hoe een breuk eigenlijk wordt vereenvoudigd:

In de tweede stap blijkt dat zowel in de teller als in de noemer "keer 16" staat. In de derde stap zie je dat je die "keer 16" en "keer 16" bij elkaar mag zetten.

Maar dat mag alléén omdat het vermenigvuldigen is!!!!
In de laatste stap is tenslotte gebruikt dat "keer 16" in de teller en "keer 16" in de noemer elkaar opheffen.

Drie afgrijselijke fouten die met breuken en letters gemaakt worden:

	Ieieieieieieiek!! Ten strengste verboden: hier staat immers geen "KEER"?? NERGENS!!!

	Aiaiaiaiaiaai!!!! Nu staat er bij de x wél KEER, maar door die +5 erachter staat daar in de noemer toch weer een blokje (x • 3) PLUS een ander blokje (5) en dus toch niet KEER!

	YYYessssss!!! Eindelijk staat er in de noemer een blokje (5) KEER een ander blokje (x + 3). Dit mag.

Soms kun je door te ontbinden in factoren er zelf voor zorgen dat er blokjes KEER elkaar komen te staan. De volgende voorbeeldjes zullen dat hopelijk duidelijk maken.

voorbeeld 1.

voorbeeld 2.

3. Breuken in breuken.

Delen door een breuk.

Laten we een getal x gaan delen door ²/₅. Gewoon voor de gein....
Nou is een leuke eigenschap van ²/₅ dat, als je het met ⁵/₂ vermenigvuldigt, er precies 1 uitkomt: ⁵/₂ • ²/₅ = 1
Dat kunnen we handig gebruiken: vermenigvuldig beide kanten van deze laatste vergelijking met x.
Dat geeft x • ⁵/₂ • ²/₅ = x

Maar kijk hiernaast wat er gebeurt als je beide kanten door ²/₅ deelt, zoals volgens onze balansmethode mag.
Dan blijkt te gelden dat x gedeeld door ²/₅ hetzelfde is als x maal ⁵/₂.
En wat voor ²/₅ geldt, geldt natuurlijk precies zo voor ³/₇ en ⁴/₁₁ en .....

Conclusie in woorden:

delen door een breuk = vermenigvuldigen met het omgekeerde

Conclusie in letters:

Je kunt het natuurlijk ook in één keer zien door teller en noemer van de linkerkant beiden met c te vermenigvuldigen. Dan valt de c weg uit de noemer en komt er in de teller ac te staan.

Het kan natuurlijk ook in deze variant:

Haal deze en de vorige niet door elkaar!!!!

voorbeeld 3.

voorbeeld 4.

Overal breuken!

Gebruik het eenvoudige principe dat je de teller en de noemer van een breuk mag vermenigvuldigen met hetzelfde getal. Dan blijft de breuk gelijk. Deze eigenschap kun je gebruiken om de noemers van ongewenste breuken weg te werken.
Hier is een voorbeeld van hoe dat in z'n werk gaat:

Bij de eerste stap is het doel om de ^x/₃ in de noemer weg te halen. Daarom zijn de teller en de noemer beiden met 3 vermenigvuldigd. Zoals je ziet verdwijnt de breuk ^x/₃ daardoor.
Bij de derde stap willen we ook de breuk ¹⁵/_x weghalen. Dat doen we door teller en noemer beiden met x te vermenigvuldigen. Het resultaat is een breuk zonder daar nog weer breuken in. Deze laatste ziet er vrij "normaal" uit.

Kijk uit met mintekens bij breuken.

Als er ergens in een breuk een minteken staat, dan doet het er niet veel toe of dat in de teller of in de noemer is.
Deze breuken zijn alle drie gelijk:

De fouten worden meestal gemaakt als er nog méér in de teller of de noemer staat.

Ik hoop dat je ziet dat dit verkeerd is:

OEIOEIOEIOEI!!!!!!
Dat moet natuurlijk zó:

OPGAVEN

Schrijf de volgende uitdrukkingen zo eenvoudig mogelijk:

Herleid de volgende uitdrukkingen tot een nieuwe uitdrukking door gebruik te maken van substitutie:

Schrijf de volgende uitdrukkingen zo eenvoudig mogelijk: