© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Vergelijkingen met breuken.  
     
Vergelijkingen met breuken worden erg vaak lastig gevonden terwijl ze eigenlijk extreem simpel zijn.
Er is maar één regel en dat is:
     

Vermenigvuldig alles met de noemers.
       
En als je dat gedaan hebt dan heb je een nieuwe vergelijking over, maar deze keer zonder breuken.
Hier is een voorbeeld van dit geweldige systeem in werking:
       
Voorbeeld.  los op:

 
Oplossing:
Ik zie daar twee noemers staan, namelijk x en x + 1  dus daar ga ik mee vermenigvuldigen.
Vermenigvuldig bijvoorbeeld eerst alles met x, dat geeft:
Vermenigvuldig nu alles met  (x + 1)  dat geeft:
2x(x + 1) + 18(x + 1) = 32x
En nou is het een vergelijking zonder breuken geworden!!!

Je had natuurlijk ook in één keer alles met x én met (x + 1) mogen vermenigvuldigen.

Laten we die laatste vergelijking nog even oplossen:
2x2 + 2x + 18x + 18 = 32x
x2 - 6x + 9 = 0
(x - 3)2 = 0
x = 3
       
Kunnen we nog ergens intrappen?
       
Meestal als een leraar deze vraag stelt kun je inderdaad nog ergens intrappen.

Deze keer ook.

Als je namelijk alles met zo'n noemer vermenigvuldigt dan moet die noemer niet nul zijn!
Immers dan wordt je hele vergelijking nul; dan staat er  0 = 0
Je zult denken:  "Nou, dan vermenigvuldig ik gewoon niet met nul", maar het probleem is dat je door die x-en niet goed kunt zien wanneer iets nul is.

Voorbeeldje van wat er fout gaat:
       
Fout Voorbeeld.  
Los op:
Vermenigvuldig meteen alles met de noemers:  (x)  en  (x - 2)
Dat geeft:  2x2 + 4(x - 2) = 3x(x - 2) + 4x
2x2 + 4x - 8 = 3x2 - 6x + 4x
0 = x2 - 6x + 8
(x - 2)(x - 4) = 0
x = 2 ∨  x = 4
       
Als je x = 4  invult dan krijg je 8/2 + 4/4 = 3 + 4/2  en dat klopt.
Maar als je x = 2 invult dan krijg je  4/0 + 4/2 = 3 + 4/0  en dat kan niet want je mag helemaal niet door nul delen!

Hoe lossen we dat op?

Het eenvoudigst is om na afloop altijd de gevonden oplossingen te controleren (zoals we ook al eerder bij vergelijkingen met wortels zagen).
Je zou ook vooraf kunnen kijken welke noemers er allemaal zijn, dus welke waarden x niet mag aannemen
       
 
 
OPGAVEN
   
1. Los algebraïsch op:
a.   d.  
             
b.   e.  
             
c.   f.  
             
2. Los algebraïsch op:
             
a.     d.  
             
  b.   e.
             
c.     f.  
3. De politie merkt de laatste jaren dat in weekendnachten het percentage automobilisten dat met alcohol, drugs of lachgas achter het stuur zit, onrustbarend toeneemt.
Men stelt de volgende twee modellen op:
           
 

           
  M is het percentage mannen, V het percentage vrouwen,  t de tijd in jaren met t = 0 in 2015
   
  a. Hoeveel is het percentage vrouwen in 2020 kleiner dan het percentage mannen?
     
  b. Als dit zo doorgaat, wat zal er dan uiteindelijk met de percentages gebeuren?
     
  c. Bereken algebraïsch in welk jaar het percentage mannen gelijk zal zijn aan het percentage vrouwen.
     
           
4. Een fles witte wijn wordt op tijdstip t = 0  (t in tientallen minuten) uit de koelkast gehaald, en in de kamer gelegd.
De temperatuur van de fles neemt vanaf dat moment langzaam toe, volgens de volgende formule:
 

 
 

           
  T is de temperatuur in °C  en  t is de tijd in minuten met t = 0 het tijdstip van het uit de koelkast halen van de fles. De constante a is gelijk aan de kamertemperatuur.
           
  a. Leg uit hoe je aan de formule kunt zien dat a de kamertemperatuur is
           
  Een fles wijn staat in een kamer van 20 °C  en heeft om 18:00 uur een temperatuur van  18 °C
           
  b. Hoe laat is de fles uit de koelkast gehaald?
           
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)