vectorvoorstelling van een lijn

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Werken met vectorvoorstellingen.

Deze les zullen we wat toepassingen en berekeningen met vectorvoorstellingen behandelen.

1. Het snijpunt van twee lijnen.

Als je twee lijnen met een vectorvoorstelling hebt, en je wilt het snijpunt berekenen dan kun je natuurlijk erg conservatief zijn en van beiden eerst een vergelijking maken, en dan van die twee vergelijkingen op de oude vertrouwde manier het snijpunt berekenen. Zeker, dat lukt je vast wel.

Maar waarom niet wat nieuws proberen?

Neem de volgende twee lijnen l en m:

Voor lijn m heb ik in plaats van l een andere letter (m) genomen. Ik hoop dat je snapt dat je bij twee lijnen niet beide letters in de vectorvoorstelling λ kunt noemen. Ze hoeven namelijk niet gelijk te zijn. Meestal noemen we de ene λ en de andere μ.

Je kunt van deze twee vectorvoorstellingen nu het snijpunt berekenen door te bedenken dat die lijnen op dat snijpunt dezelfde x hebben én dezelfde y. Dat betekent dat de bovenste "regel" gelijk moet zijn en ook de onderste "regel". Dat geeft je twee vergelijkingen met twee onbekenden en die zijn makkelijk op te lossen.

De bovenste regels zijn x = 2 + l·1 en x = 12 + m · -2
Dus moet gelden 2 + l = 12 - 2m

Op dezelfde manier geven de onderste regels dat moet gelden -4 + l·3 = -7 + m · 5

En nu heb je een stelsel van twee vergelijkingen die beiden moeten kloppen.
Dat kun je makkelijk oplossen.
Doe het zelf maar; het geeft l = 4 en m = 3
Invullen in één van beide lijnen geeft daarna als snijpunt (6, 8)

Voorbeeld.

Oplossing.

De x-vergelijking is 2 - λ = 0 + 3μ en de y-vergelijking is 3 + 2λ = 4 + μ.
Van de eerste kun je maken λ = 2 - 3μ en dat kun je invullen in de tweede.
Dat geeft 3 + 2(2 - 3μ) = 4 + μ
⇒ 7 - 6μ = 4 + μ
⇒ 3 = 7μ
⇒ μ = ³/₇.

Dat geeft het snijpunt x = 3μ = ⁹/₇ en y = 4 + μ = 4³/₇. Het snijpunt is (1²/₇, 4³/₇)

Kan er nog wat misgaan?

Het zou kunnen dat bij dat oplossen zomaar ineens alle letters wegvallen en dat je iets overhoudt als 2 = 2 of 3 = 5 of zo.
Kijk maar:

Voorbeeld.

De vergelijkingen zijn 1 - 2λ = 2 + 4μ en 3λ = 1 - 6μ.
de eerste geeft λ = -¹/₂ - 2μ en invullen in de tweede levert 3(-¹/₂ - 2μ) = 1 - 6μ
⇒ -1¹/₂ - 6μ = 1 - 6μ
⇒ -1¹/₂ = 1.
Wat is hier aan de hand?
Er is natuurlijk geen enkele l of μ waarvoor geldt dat -1¹/₂ = 1 , dus deze twee lijnen hebben geen snijpunt.
Ze zijn evenwijdig!! Dat kon je al wel zien aan die twee richtingsvectoren natuurlijk.....

En als het oplossen iets zou opleveren wat altijd klopt, zoals 4 = 4 of zo, dan betekent dat voor elke λ en m er een snijpunt is. Dat is alleen maar zo als de twee lijnen samenvallen!

Een vergelijking snijden met een vectorvoorstelling.

Dat is zo mogelijk nog makkelijker.
Je vult de x van de vectorvoorstelling (bovenste regel) en de y van de vectorvoorstelling (onderste regel) gewoon voor de x en de y van de vergelijking in.
Dan vind je l

Voorbeeld: Bereken de coördinaten van het snijpunt van de volgende twee lijnen:

Oplossing:
x = -1 + 5l en y = 4 + 2l invullen in de vergelijking:
4 + 2l = 2(-1 + 5l) - 10
4 + 2l = -2 + 10l - 10
16 = 8l
l = 2
Het snijpunt is dan (9, 8)

OPGAVEN

Bereken het snijpunt van de volgende lijnen.

Gegeven is de lijn:

Bereken het snijpunt van deze lijn met de y-as als gegeven is dat het snijpunt met de x-as het punt (7, 0) is.