Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Verticale asymptoten

Bekijk de volgende liniet:

Laten we met een tabel onderzoeken wat er daar in de buurt van x = 2 aan de hand is:

x	¹/_{(x - 2)²}
3	1
2,5	4
2,1	100
2,01	10000
2,001	1000000
2,0001	100000000

In de buurt van x = 2 wordt ¹/_{(x - 2)²} steeds groter en groter.
Dat zie je in de grafiek ernaast ook: De grafiek heeft bij x = 2 een verticale asymptoot: de functiewaarde wordt daar oneindig groot
Met de limietnotatie zeggen we in zo'n geval dat de limiet gelijk is aan oneindig, en daar gebruiken we het teken ¥ voor
Dus zo:

Bedenk goed dat dit alleen een manier van noteren is. Die ¥ is geen getal waar je mee kunt rekenen.

Linkerlimiet en rechterlimiet.

Soms hangt het er vanaf van welke kant je komt......

Neem de grafiek hiernaast.
Als je x naar 2 laat naderen dan kan dat vanaf twee kanten:

als je via 1,9 - 1,99 - 1,999, .... naar 2 loopt dan wordt de functiewaarde - ¥ (die groene pijl omlaag)
Dat noemen we de linkerlimiet (je loopt van de linkerkant naar 2)

als je via 2,1 - 2,01 - 2,001 - .... naar 2 loopt dan wordt de functiewaarde + ¥ (die groene pijl omhoog)
Dat noemen we de rechterlimiet (je loopt van de rechterkant naar 2)

In de limietnotatie geven we dat aan door x 2 (linkerlimiet: van de onderkant naar 2, dus van getallen kleiner dan 2 naar 2 toegaan)
en x ¯ 2 (rechterlimiet: van de bovenkant naar 2, dus van getallen groter dan 2 naar 2 toegaan).
In dit voorbeeldgeval geldt dus:

Eigenlijk mag je alleen als de linkerlimiet en de rechterlimiet gelijk zijn, spreken over DE limiet van x naar een bepaald getal.

Als het er alleen maar om gaat of de grafiek een verticale asymptoot heeft zijn wiskundigen wel eens wat lui, en noteren ze in dit geval:

Limieten die niet bestaan!

Als de linkerlimiet niet gelijk is aan de rechterlimiet, dan bestaat DE limiet niet.
Maar er is nog een anderen manier waarbij een limiet niet bestaat.

Dat is een beetje flauwe manier; namelijk als de functie zelf niet bestaat. Immers van een functie die niet bestaat kun je ook niet zeggen waar die naar toe loopt!

Neem als voorbeeld de grafiek van f(x) = ln(x - 5) hiernaast.

Ik hoop dat je snapt dat in dit geval geldt:

Verticale asymptoten.

Je hebt gezien dat er verticale asymptoten kunnen zijn als er een limiet naar oneindig gaat (plus of min), immers de grafiek moet langs een verticale lijn gaan lopen.
In welke gevallen kan dat voorkomen?
Dat is eenvoudig; dat zijn 3 gevallen:

Verticale asymptoten zijn te vinden bij:
1.	Delen door nul
2.	Log (nul)
3.	Tan (¹/₂p + kp)

In deze drie gevallen kun je een limiet hebben die naar oneindig gaat.
Merk nog even op dat het derde geval eigenlijk ook delen door nul is, immers tanx = ^sinx/_cosx
en cosx is nul voor x = ¹/₂p + kp

Voorbeeld. Geef de verticale asymptoot van de grafiek van f(x) = 10/_{ln(2x - 6)} Oplossing: · lnx = ^elogx dus we hebben te maken met geval 2 · er staat een breuk dus we hebben te maken met geval 1. geval 2: 2x - 6 = 0 als x = 3

Dat wordt nul omdat ln(2x - 6) naar -¥ gaat. Er is dus geen verticale asymptoot bij x = 3

geval 1. ln(2x - 6) = 0 als 2x - 6 = 1 dus als x = 3,5

Je ziet dat ik wat lui ben geweest met dat ±¥. Het hangt er vanaf of je de linkerlimiet of de rechterlimiet naar x = 3,5 neemt. Maar er is in iedere geval een verticale asymptoot x = 3,5. Hieronder zie je de grafiek.

OPGAVEN

Bereken de volgende limieten, of geef aan dat ze niet bestaan.

Bereken de volgende limieten uit je hoofd, door eerst de functievoorschriften te vereenvoudigen.

Geef de vergelijkingen van de verticale asymptoten van de grafieken van de volgende functies.
Gebruik de limietnotatie.