Een 3D-gebied.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
   
Voordat je deze les gaat volgen moet je beslist eerst weten hoe je een plat vlak in een ruimtelijke tekening tekent. Dat staat in deze les uitgelegd. Bestudeer die dus eerst!!

Omdat elke vergelijking een plat vlak voorstelt, zijn al onze beperkende voorwaarden met de letters x, y, en z ook platte vlakken. Maar door het > of < in zo'n beperkende voorwaarde betekent dat, dat het vlak de grens is tussen wat wel mag en wat niet mag. Aan de ene kant van het vlak zal > gelden, en aan de andere kant <.  Het toelaatbare gebied is dus de ene of de andere kant van het vlak. Dat valk verdeelt de ruimte eigenlijk in twee helften (een  >-helft en een <-helft).

Omdat het in de meeste problemen gaat om "aantallen" ergens van, zullen bijna altijd x, y en z groter dan nul moeten zijn. We beperken ons daarom vanaf nu tot het deel van de ruimte met alleen positieve coördinaten.
   
Neem de beperkende voorwaarde  x + 2y + 3z ≤ 6
Hiernaast is het vlak x + 2y + 3z = 6 getekend.

Door dat ≤  teken is het toelaatbare gebied nu het deel van de ruimte vóór het vlak of erachter. Maar omdat O(0,0,0) duidelijk voldoet aan de voorwaarde moet O erbij zitten, dus is dat het deel achter het vlak ABC.
Als er ≥ in de ongelijkheid had gestaan dan was het juist het deel van de ruimte vóór vlak ABC geweest.

   
Twee vlakken.  
   
Neem de volgende beperkende voorwaarden (plus dat alles weer groter dan nul is):

5x + 20y + 4z ≤ 20
6x + 3y + 4z   ≤ 12

De beide bijbehorende vlakken zien er zó uit:
   

   
Laten we die vlakken in één figuur door elkaar heen tekenen:
   

   
De snijpunten van de twee vlakken zijn P en Q. Dus ik zou meteen maar de snijlijn PQ tekenen.
Het gebied onder beide vlakken is dan dan dat rode lichaam hierboven. Dat is ons gezochte toelaatbare gebied.

Laten we kijken wat er gebeurt als we de  ≤ en  ≥  tekens veranderen.

Dan zijn er vier mogelijkheden waarvoor je hieronder het nieuwe toelaatbare gebied in het rood ziet aangegeven, met de voorwaarden eronder.
   
   
In die laatste figuur is dus de hele ruimte toegestaan behalve dat grijze gebied onder die twee vlakken.
   
OPTMALISEREN.  
   
Oké, laten we zeggen dat je eenmaal zo´n toelaatbaar ruimtelijk gebied hebt vastgesteld.
Stel dat je ook een doelstellingsfunctie hebt gemaakt.
Dan blijft de vraag:  "In welk hoekpunt is de doelstellingsfunctie maximaal (of minimaal)?"

Het antwoord is verrassend simpel:

"Reken voor elk hoekpunt de doelstellingsfunctie uit, en neem gewoon de grootste/kleinste"
   
Daarmee komt er wél het volgende probleem:

"Hoe bereken je de coördinaten van de hoekpunten?"
   
Het snijpunt van drie vlakken.

De hoekpunten van het toelaatbare gebied zijn steeds de snijpunten van drie vlakken.

Het snijpunt van drie vlakken is het punt waarvan de coördinaten voldoen aan alle drie de vergelijkingen van die vlakken. Dat klinkt toch logisch, vind je niet? Als een punt op alle drie die vlakken ligt, dan moet het voldoen aan alle drie die vergelijkingen.
Voor het berekenen van zo'n snijpunt heb je dus te maken met drie vergelijkingen (van elk vlak één) met drie onbekenden (de x, y en z van het snijpunt). Dat berekenen kun je meestal het handigst via substitutie doen, en dat gaat in schema zó:
   

   
Zodra je één vergelijking met één onbekende hebt overgehouden kun je die oplossen. Als je eenmaal één van de onbekenden weet zijn de anderen makkelijk te vinden omdat je die gevonden onbekende overal kunt vervangen door een getal.

voorbeeld
Bereken het snijpunt van de vlakken   2x + 4y - z = 15   en   x - 2y + 3z = -1   en    5x + 2y  - 2z = 14

oplossing.
Maak van de eerste vergelijking z = 2x + 4y - 15 en vul dat voor z in de andere twee in.
De tweede wordt dan  x - 2y + 3(2x + 4y -15) = -1  ofwel  7x + 10y - 45 = -1
De derde wordt dan  5x + 2y - 2(2x + 4y - 15) = 14  ofwel  x - 6y  + 30 = 14

Dat zijn twee vergelijkingen met de onbekenden x en y
Maak van de tweede vergelijking  x = 6y - 16 en vul dat voor x in de eerste in.
Die wordt dan  7(6y - 16) + 10y - 45 = -1  ofwel   52y -112 - 45 = -1   ofwel  52y = 156
Dat geeft y = 3

x = 6y - 16 geeft dan  x = 2
z = 2x + 4y - 15 geeft dan  z = 1
Het snijpunt is dus het punt  (2, 3, 1)

Gegarandeerd succes!!!!
Kun je nagaan:  dit was nog een moeilijk voorbeeld ook!! Meestal is één van de drie vlakken wel  x = 0  of y  = 4  of z = 1  of zoiets en dan kun je die natuurlijk heel handig als eerste gebruiken om een letter kwijt te raken.
     
  OPGAVEN
     
1. De firma SPA maakt met citroen drie verschillende frisdranken.
Dat zijn de smaken  lemon en  citroen-cactus en  druif-citroen. Voor een  fles lemon heeft men alleen citroenen nodig. In een fles  citroen-cactus zit citroen en cactus in verhouding 1 : 1. en in een fles druif-citroen zitten druiven en citroenen in verhouding 1 : 2.

Elke dag heeft men de beschikking over  12000 kg citroen, 3000 kg cactus en 3500 kg druiven.  Verder bevat elke fles frisdrank in totaal evenveel fruit.

Stel dat men x kg lemon en y kg citroen-cactus en z kg druif-citroen wil produceren.
Dan zijn de beperkende voorwaarden:
 

6x + 3y + 4z ≤ 72000
y ≤ 6000
z ≤  10500  
 

       
  a. Toon aan dat dat klopt, en teken het toelaatbare gebied.
     
  De opbrengst van een fles lemon is  €0,55 en van een fles citroen-cactus  €0,30 en van een fles druif-citroen €0,40.
       
  b. Bereken de maximale dagopbrengst.  
   

€7100,-
       
2. Een groothandelaar in groenten en fruit  verkoopt drie soorten bananen; de Cavendish, de Bakbanaan en de Rode banaan. Hij koopt ze kant en klaar in in kisten en verkoopt ze ook alleen per kist. De Cavendish zit in kisten van 20 kg, de Bakbanaan in kisten van 15 kg en de Rode Banaan in kisten van 25 kg.
Zijn voorraad op dit moment is:  2000 kg Cavendish, 3000 kg Bakbanaan en 2500 kg Rode Banaan.

Een klant bestelt een vrachtwagen met bananen bij de groothandelaar. De vrachtwagen van de groothandelaar kan maximaal 6000 kg bananen vervoeren.
Hoeveel kisten van welke soort de handelaar brengt mag hij voorlopig zelf weten.
       
  Stel beperkende voorwaarden op en teken een toelaatbaar gebied.
       
3. Een boer verkoopt drie soorten aardappels, laten we ze voor het gemak soort A, B en C noemen. Soort A wordt verkocht in kisten van 17 kg, soort B in kisten van 10 kg en soort C in kisten van 25 kg.
Voor iedere soort heeft de boer een onbeperkt aantal kisten tot zijn beschikking.
Van soort A heeft hij nog slechts 3400 kg in voorraad, van de soorten B en C ruimschoots genoeg.
De boer heeft een vrachtwagen waarop hij maximaal 5000 kg aardappels kan vervoeren.
Een klant bestelt een vrachtwagen vol aardappels. De klant wil maximaal 300 kisten, maar hoeveel van elke soort dat mag de boer zelf weten.
       
  a. Stel de beperkende voorwaarden die bij dit probleem horen op.
       
  b. Het toelaatbare gebied ziet eruit als in de figuur hiernaast.
Bereken de coördinaten van het roosterpunt binnen het toelaatbare gebied  dat het dichtst bij punt P ligt.

   

(200, 46, 53)
     
  c. Als de klant niet maximaal 300 kisten bestelt maar precies 300, dan wordt het toelaatbare gebied een plat vlak. Teken zo'n mogelijk toelaatbaar gebied en bereken het hoogst aantal kg dat de boer in dat geval kan verkopen.
   

5080 kg
   
         
4. Een hondentrainer wil drie rassen honden gaan africhten, en dat zijn Retrievers, Boxers en Herdershonden.
Voor de aankoop van de jonge honden heeft hij €1600,- tot zijn beschikking. Een Retriever kost €80,- een Boxer kost €40,- en een Herder kost €100,-.
Hij zal de honden voor een periode van 4 maanden verzorgen en africhten en daarna verkopen.
Dat onderhoud (voedsel, ruimte, inentingen e.d.) kost voor een Retriever in totaal  €600, - voor een Boxer €400,- en voor een Herder €400,-  Voor dat onderhoud heeft hij maximaal €12000,- gereserveerd.

Uiteindelijk verwacht hij elke afgerichte Retriever te verkopen voor  €980,-  elke Boxer voor €700,- en elke Herder voor €850,-
         
  a. Stel beperkende voorwaarden op en teken een toelaatbaar gebied.
         
  b. Wat is het maximale aantal honden dat de trainer kan gaan africhten?
     

30
  c. Wat is het maximale winst die de trainer uiteindelijk met al deze afgerichte honden kan krijgen?
       

€8080
         
5. In een fabriek worden de producten A, B en C gemaakt. Daarbij worden de machines I, II en III gebruikt. Het aantal uren dat de machines nodig zijn bij de productie van één product staat in de volgende tabel:
         
 
  A B C
machine I 1 3 1
machine II 1 2 2
machine III 2 3 1
         
  Beschikbaar zijn per maand:  machine I maximaal 450 uren, machine II maximaal 510 uren en machine III maximaal 600 uren. De winst die uiteindelijk gemaakt wordt op de producten A, B en C is achtereenvolgens  €100,- en  €110,- en €120,-
         
  a. Door omstandigheden wordt artikel C niet gemaakt in een bepaalde maand. Bepaal de maximale winst in die maand.
         
  b. Teken het toelaatbare gebied als alle drie de producten worden gemaakt. Bereken de coördinaten van de hoekpunten en bepaal weer de maximale winst.
         
6. Een cementfabriek maakt twee soorten cement: A en B.
Voor de cementproductie zijn de grondstoffen zand en water het belangrijkst. Per ton cement A zijn 2 eenheden zand nodig terwijl per ton cement B één eenheid zand nodig is. In totaal beschikt men over 24 eenheden zand.

Per ton cement A gebruikt de fabrikant 500 liter water, en per ton cement B is 300 liter water nodig. Er kunnen maximaal 5100 liter water gebruikt worden.
De maximale vervoerscapaciteit is 24 eenheden. Daarbij zijn voor het vervoer van een ton A 2 eenheden vervoerscapaciteit nodig, en voor een ton B zijn 3 vervoereenheden nodig.

Per ton A krijgt men uiteindelijk €4000,- en per ton B €3000,-
         
  a. Stel beperkende voorwaarden op en teken het toelaatbare gebied.
         
  b. Bij welk productieschema is de opbrengst maximaal?
         
  c. Een eenheid zand kost €300,- en een liter water kost €0,50.
Het vervoer per ton A kost €300,- en per ton B €800,-
Bij welke productie is de winst maximaal?
         
  Voor de lokale markt gaat de fabrikant een derde soort (C) cement maken. Voor deze soort zijn per ton 2 eenheden zand en 300 liter water nodig. De totale beschikbare hoeveelheden water en zand veranderen niet.
Het productieproces moet wel aangepast worden, met dien verstande dat hoogstens 6 ton van soort A geproduceerd kan worden, terwijl de soorten B en C in principe onbeperkt geproduceerd kunnen worden.
Omdat C voor de lokale markt bestemd is hoeft het niet vervoerd te worden.
De opbrengst per ton cement C is €2000,-
         
  d. Hiernaast staat het nieuwe toelaatbare gebied getekend. 
Daarbij is  A = (6,0,0) en C = (0,8,0) en I = (0,0,12) en G = (3,6,6) en 
F = (6,4,3)
Geef van elk grensvlak van de figuur aan bij welke beperkende voorwaarde het hoort.

     
  e. Hoe groot is de maximale opbrengst?
     
         
7. De B.V. "Vermogensgroei" is een beleggingsfirma die zich heeft toegelegd op het beheren van privé vermogens. Een nieuwe cliënt heeft de BV verzocht om een bedrag van maximaal 15000 voor één jaar te beleggen De cliënt wil dat het geld belegd wordt in de drie fondsen "Divi" en "Coup" en "Opti". Dit zijn drie beleggingsmaatschappijen waarvan de aandelen ter beurze genoteerd staan. Divi belegt alleen in aandelen van industriële ondernemingen. Coup belegt hoofdzakelijk in staatsobligaties, en Opti belegt voornamelijk in opties.
De research afdeling van Vermogensgroei heeft de volgende gegevens beschikbaar:
         
 
Fonds koers 
per aandeel		 verwachte opbrengst
per aandeel		 risico-index
per aandeel
Divi 12 3 0,50
Coup 50 5 0,25
Opti 10 1,5 0,20
         
  De risico-index geeft een beoordeling van de relatieve verhoudingen voor de drie beleggingsalternatieven. Door het stellen van een limiet aan het totale risico van de beleggingsportefeuille voorkomt Vermogensgroei dat er teveel geld belegd wordt in potentiële beleggingen die weliswaar een hoge opbrengst hebben maar ook veel risico met zich mee brengen.
Met de nieuwe cliënt, die een zo hoog mogelijk rendement wil tegen aanvaardbare risico's, wordt afgesproken dat de totale risico-index van de hele portefeuille niet meer mag zijn dan 425. Bovendien is er een limiet gesteld van maximaal 600 aandelen Divi en  maximaal 1200 aandelen Opti.
         
  a. Stel dat er precies 15000 belegd gaat worden. Stel dan beperkende voorwaarden op, teken een toelaatbaar gebied en bepaal de optimale beleggingsstrategie voor Vermogensgroei.
         
  b. Hoe verandert vraag a) als er niet precies 15000 belegd wordt, maar hoogstens 15000? Los het probleem voor de firma Vermogensgroei nogmaals op.
         
8. Morgen wordt er een braderie gehouden en bakker Bolletje zal dan traditiegetrouw ambachtelijk gebakken producten verkopen. Morgen zal hij krentenbollen, gestelnaartjes en koffiebroodjes gaan verkopen.
De benodigde ingrediënten per bolletje/broodje staan in de volgende tabel:
         
 
meel eieren gist krenten
Krentenbol 12 2 gram 0,2 gram 4
Gestelnaartje 14 6 gram 0,1 gram 0
Koffiebroodje 10 4 gram 0,1 gram 4
         
  De bakker zal vannacht moeten bakken.
In zijn voorraadkamer heeft hij meer dan genoeg meel, maar er is slechts 180 gram gist, er staan 90 eieren die in totaal 5400 gram wegen. Krenten zijn er voldoende.
De koffiebroodjes moeten geglazuurd worden, en vanwege de tijd is het niet mogelijk er meer dan 800 te maken.
         
  a. De bakker wil x krentenbollen, y gestelnaartjes en z koffiebroodjes gaan maken. Stel daarvoor beperkende voorwaarden op.

     
  b. De voorwaarden uit vraag a) leveren een gebied op dat hiernaast staat getekend. Bereken de coördinaten van de hoekpunten van dit gebied.
     
  De braderie wordt meestal druk bezocht en bakker Bolletje verwacht al zijn producten te verkopen. Hij verdient op een krentenbol 25 cent, op een gestelnaartje 20 cent en op een koffiebroodje 23 cent.
     
  c. Bereken de maximaal haalbare winst voor de bakker.
         
9. Juwelier Klaas Oosterhof krijgt van de koningin een opdracht om een mooie kroon te maken met parels, robijnen en diamanten. De prijs van een parel is €100,-, van een robijn €50,- en van een diamant €50,-. De opdracht van de koningin luidde als volgt:
 
"Wij willen een kroon van hoogstens 2 kg, met voor niet meer dan €30.000,- aan edelstenen, met bovendien van elke soort steen hoogstens 300 stuks".
  Zoals iedereen weet wegen een parel en een robijn elk 2 gram en een diamant 8 gram.
         
  Hofleverancier Klaas tekent gauw het toelaatbare gebied bij deze opdracht, en krijgt de grafiek hiernaast (de gegeven getallen zijn snijpunten op de drie assen)

     
  a. Stel de restricties op die bij dit gebied horen en geef aan wat er langs de assen van de tekening is uitgezet.
     
  b. Bereken de coördinaten van punt P (rechtsboven in het voorvlak van de figuur)
         
10. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1986.

Een groot warenhuis heeft vier filialen A, B, C en D in het land en beschikt over twee voorraadmagazijnen I en II. Een bodedienst verzorgt het vervoer tussen de magazijnen en de filialen. In de magazijnen I en II zijn achtereenvolgens 50 en 70 videorecorders voorradig.
De bedrijfsleiding besluit om naar elk van de filialen 30 videorecorders te zenden.
De vervoerskosten in guldens per videorecorder zijn af te lezen in onderstaande kostenmatrix.
           
 

           
  De bedrijfsleiding wil een zo goedkoop mogelijk vervoersschema.
In onderstaande vervoersmatrix stellen de letters x, y en z aantallen videorecorders voor. Op de plaats van de stippen komen uitdrukkingen in x, y en z.
           
 

           
  a. Stel de complete matrix in x, y en z op.
           
  b. Druk de totale vervoerskosten in x, y en z uit.
     
 

     
  c. Bereken met behulp van bovenstaande figuur de coördinaten van elk van de 12 hoekpunten van het toegestane gebied.
     
  d. Bereken de minimale totale vervoerskosten.
     
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)