Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven

Geef een parametervoorstelling van de volgende cirkelbewegingen:

Middelpunt (3, 4), straal 7 en omlooptijd 3p seconden. P begint rechts van M, en draait tegen de klok in.

Middelpunt (2, -6), straal 4 en omlooptijd 12 seconden, P begint rechts van M, en draait met de klok mee.

Middelpunt (2, 0), straal 5 en omlooptijd 4p seconden. P begint links van M en draait tegen de klok in.

Punt P maakt een cirkelbeweging rond punt M met straal 4 en omlooptijd 8.
P begint op tijdstip t = 0 in het punt (4, 0) en draait tegen de klok in.
Tegelijkertijd loopt M langs de lijn y = 2x met snelheid Ö5.
Op t = 0 begint M in de oorsprong, en M beweegt naar rechts.

Geef een parametervoorstelling voor de baan van punt P en schets deze baan.

Bereken de baansnelheid van P op tijdstip t = 2

Als je bij de x vergelijking een andere amplitude neemt dan bij de y-vergelijking, dan krijg je geen cirkel, maar een soort "vervormde" cirkel. Dat noemen we een ellips.
De parametervoorstelling: x(t) = 3 + 12cos(t) en y(t) = 4 + 8sin(t) levert de volgende ellips op:

Je kunt om deze ellips een rechthoek tekenen waarvan de zijden evenwijdig zijn aan de coördinaatassen, en waar deze ellips precies in past.

Bereken de oppervlakte van die rechthoek.

De ellips snijdt de x-as in de punten P en Q.

Bereken exact de afstand PQ

MEER OPGAVEN

Op een kermis staan vaak draaimolens die bestaan uit een grote arm die ronddraait en waaraan een kleinere bakjes is vastgemaakt die óók om zijn middelpunt draait. Zie de figuur hiernaast.

Wiskundig gezien kunnen we dit zien als een punt P dat in een cirkelbaan om M draait, terwijl een punt Q weer in een kleinere cirkel om P draait.

Neem als oorsprong punt M. Stel dat de grote cirkel straal 8 meter heeft en ronddraait in 20 seconden en dat de kleine cirkel straal 3 meter heeft en dat Q om P draait in 5 seconden.
Neem verder aan dat op t = 0 punt P zich rechts van M bevindt, en punt Q rechts van P

Plot de baan van punt Q.

De cycloïde.
De cycloïde is een beroemde figuur uit de geschiedenis van de wiskunde. Het (zij?) wordt wel de "Helena van de Geometrie" genoemd.
Als een wiel met straal 1 en horizontale snelheid 1 over een vlak oppervlak rolt, dan beschrijft een punt op de omtrek van dat wiel een parameterkromme die cycloïde heet. Dat ziet er ongeveer zó uit (de rode lijn):

Als het middelpunt met snelheid 1 naar rechts beweegt dan is de omlooptijd van punt P gelijk aan 2p

Leg duidelijk uit waarom dat zo is.

Geef een parametervoorstelling van de cycloïde