© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
Hieronder zie je een complex vlak met allerlei gekleurde punten. De punten met dezelfde kleur worden met elkaar vermenigvuldigd en leveren dan als resultaat één van de genummerde zwarte punten op.
Leg uit welk nummer bij welke kleur hoort.
       
 

       
Bereken van de volgende complexe getallen  r en een mogelijke φ. Doe dat zonder de vermenigvuldigingen werkelijk uit te voeren.
       
  a. (3 + 3i) • (2 + 2i) c. i • (-6√3 - 6i)
           
  b. (4 - i)2 d. (1 - i) • (3 + 4i)
       
Hiernaast staan in het complexe vlak twee getallen z1  en z2 getekend, en een cirkel waar z1 op ligt
Het punt  z = z1 · z2 blijkt ook op de cirkel te liggen.

     
  a. Teken de plaats van z
     
  b. Teken de plaats van het getal i.
       
Hiernaast zie je in het complexe vlak een getal z aangegeven dat op afstand 9 van de oorsprong ligt.
 

Teken in deze figuur ook de plaats van  z - i√z

Doe dat zonder berekeningen met complexe getallen te maken.
Geef een duidelijke uitleg.

 

       
Geef de volgende getallen in de vorm a + bi.  Doe dat zonder de complexe getallen van je rekenmachine te gebruiken.
       
  a. (3 + i)4 d. (1 - i)5
           
  b. (-1 - 0,3i)100 e. (2 + 2i)3
           
  c. (1/2 - 1/2iÖ3)10 f. (√2 + i√2)6
       
MEER OPGAVEN
       
6. a. Leg uit dat draaien over 90º hetzelfde is als vermenigvuldigen met i.
       
  b. Waarmee zou je moeten vermenigvuldigen als je wilt draaien over 30º?
       
7. Probeer eens te raden hoe het  delen  van twee complexe getallen in zijn werk gaat in het complexe vlak.
Bedenk dat delen natuurlijk het omgekeerde is van vermenigvuldigen.
Controleer daarna met een paar voorbeelden of jouw ideeën inderdaad kloppen.
       
8. Als je het getal 1 + i gaat machtsverheffen, dus (1 + i)n gaat bepalen voor allerlei n, dan kom je regelmatig uit op een getal dat op de imaginaire as ligt. 
We beginnen met n = 0 en laten n daarna met stapjes van 1 toenemen. We bekijken alle getallen op de imaginaire as.
  Wat is op die manier het vijfde getal dat op de imaginaire as ligt?
       
9. a. Als je neemt r = 1  en  n = 2 dan kun je met draaivermenigvuldigingen  formules voor  cos2x en sin2x afleiden.
Doe dat.
       
  b. Leid formules af voor cos3x en sin3x
       
  c. Toon aan dat  cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ  en dat 
sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
       
10. Voor een complex getal z op de eenheidscirkel geldt dat  1/z  gelijk is aan de geconjugeerde van z.
       
  a. Toon dat aan.
       
  b. Laat zien dat daaruit volgt dat  cos2φ + sin2φ = 1
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)