© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven
       
Bereken de vraagtekens in onderstaande driehoeken. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.
       
 

       
Bereken de vraagtekens in onderstaande driehoeken. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.
       
 

       
Stel dat de twee wijzers van een klok lengtes 4 cm en 6 cm hebben.
Hoe ver zijn de uiteinden dan van elkaar als het half vier is?
       
Driehoek ABC heeft AB = 9 en BC = 7 en AC = 3
CD is de hoogtelijn vanuit C.
Bereken de lengte van CD in twee decimalen.
       
Voor de kust ligt een eiland met daarop twee kerktorens: één bij P en één bij Q. Iemand wil graag de afstand tussen beide torens bepalen.

Zij doet dat door vanaf twee punten A en B aan de oever de hoeken die hiernaast staan aangegeven te meten.
Verder meet zij de afstand AB = 600 meter.

Bereken de afstand tussen beide torens op het eiland.

 

       
MEER OPGAVEN
       
6 Hiernaast zie je een schematisch model van een autokrik.
A en C zijn scharnieren, B is een zogenaamd "glijstuk" dat heen en weer kan schuiven.
De krik kan helemaal ingeklapt worden zodat punt C op lijn AB komt te liggen.

     
  a. Hoe hoog komt punt D maximaal?
     
  b. Vanuit ingeklapte toestand schuift punt B 20 cm naar links. Hoe ver gaat steun D dan omhoog?
       
7. Een boer wil een stuk weiland gaan omheinen. Van A naar B loopt een sloot van 120 meter lang. Van C naar D een sloot van 30 meter.
Het hek dat de boer wil maken moet daarom van A via C naar B lopen.

Als AC gelijk is aan 45 meter, hoe lang is BC dan?

       
8. Examenvraagstuk HAVO-B 2024-I

In de Franse stad Lyon ligt een parkje met de naam ‘Jardin des tout-petits Adolphe-Lafont’. De vorm is nagenoeg driehoekig. We benaderen de vorm van dit parkje met een driehoek ABC. Zie de figuur.
       
 

  Ergeldt:  
  - Zijde AB, langs de Rue Pascal, is 92 m lang.
  - Zijde BC, langs de Rue Lafontaine, is 101 m lang.
  - Zijde AC, langs de Avenue Marc Sangnier, is 145 m lang.
  Bereken algebraïsch de oppervlakte van dit parkje in m2. Geef je eindantwoord als geheel getal.
       
9. Van parallellogram ABCD is AB = 12
De lengte van diagonaal AC is 15, en de lengte van diagonaal BD is 10.
Hieruit volgt dat  ∠BAC ≈ 13,2°

     
  a. Toon dat aan.
     
  b. Bereken AD in twee decimalen nauwkeurig.
       
10. Hieronder zie je een afbeelding van een muurparasol "Tenerife" van de firma Garden Impressions  (€250,-).
Helemaal onderaan in punt E zit een molentje waarmee je een staalkabeltje (dat door stang AE loopt) kunt opwinden waardoor punt A naar beneden wordt getrokken langs stang BE

Als je het molentje weer "afwindt" zal door het gewicht van de parasol punt A weer omhoog gaan.

C is een vast punt waar BC scharnierend aan AD vastzit.
       
 

       
  De afmetingen zijn  BE = 120,  BC = 30,  CD = 50,  AC = 40.  Alles in cm.
Stel dat AB = x
Dan geldt voor de verticale afstand (h) tussen D en E:   h = 120 + 1/8x + 787,5/x

Toon dat aan
       
11. Hiernaast zie je een (vereenvoudigde) tekening van een hijskraan.

De arm PQ (10 m) kan draaien om punt Q. SR is een staalkabel die vast zit in R (RP = 2m)
De kabel kan versteld worden in punt S.
De cabine heeft afmetingen  TQ  = 6  en TS = 4.
Q en T bevinden zich 1 m boven de grond.

  Hoe lang moet de kabel worden om punt P 10 meter boven de grond te krijgen?
   
12. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2017-I
       
 

Een atleet gooit de speer vanaf de afwerpboog. Dit is een deel van de cirkel met het zogeheten 8m-punt als middelpunt en een straal van 8 meter. De speer moet landen in het gebied binnen twee lijnen die een hoek van 28,65° met elkaar maken. Deze twee lijnen snijden elkaar in het 8m-punt.

De gemeten afstand wordt als volgt gemeten:
- trek een rechte lijn vanaf de plek waar de speer landt tot het 8m-punt;
- de lengte van het deel van deze lijn van de plek waar de speer landt tot de afwerpboog, is de gemeten afstand.
Door deze manier van meten kan het voorkomen dat er een verschil is tussen de werkelijk geworpen afstand en de gemeten afstand. In de figuur staat hiervan een bovenaanzicht.
       
 

       
  De winnaar van het speerwerpen bij de mannen op de Olympische Spelen van 2012 won met een gemeten afstand van 84,58 meter. Als hij zou hebben geworpen volgens de situatie in de figuur, dan zou zijn werkelijk geworpen afstand groter zijn geweest.
Bereken in hele centimeters nauwkeurig het verschil tussen de gemeten afstand en de werkelijk geworpen afstand in deze situatie.
       
       
13. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2017-I
       
 

Gegeven zijn de cirkels c1 en c2. Cirkel c1 heeft middelpunt M1(-2,0) en straal 2 . Cirkel c2 heeft middelpunt M2 (6,0) en straal 6 .

Voor elke positieve waarde van r is er één cirkel c3 met middelpunt M3 en straal r zó dat geldt:
- M3 ligt boven de x-as;
- c3 raakt aan cirkel c1 én aan cirkel c2.

In de figuur linksonder is de situatie getekend voor r = 21/2 en in de figuur rechtsonder figuur voor r = 41/2.
Verder is in beide figuren driehoek M1M2M3 getekend.
       
 

       
  De grootte van ∠M1M2M3 is afhankelijk van r : voor elke waarde van r geldt:
   
 

       
  a. Bewijs de juistheid van deze formule.
       
  Als r onbegrensd toeneemt, nadert de grootte van  ∠M1M2M3 tot een limiet.
       
  b. Bereken exact deze limiet in graden.
       
14. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2018-I
       
 

Met behulp van een hoogwerker kan een monteur bepaalde werkzaamheden op hoogte uitvoeren. Zie de foto.

Hierbij staat de monteur in een bak, die is bevestigd aan twee scharnierende draagarmen.

De twee draagarmen draaien ten opzichte van elkaar en ten opzichte van het wagentje waaraan de onderste draagarm bevestigd is.

In deze opgave bekijken we een vereenvoudigd 2-dimensionaal model van de situatie. Zie de volgende figuur, waarin dit is weergegeven.

 
 

       
  Punt A is het scharnierpunt op het wagentje, punt B het scharnierpunt van de twee draagarmen en punt C het einde van de bovenste draagarm waaraan de bak bevestigd is.
In de situatie zoals weergegeven in de figuur geldt dat BC horizontaal is.
Hoek ABC is dan 50 graden.

In onderstaande figuur is ook het punt D weergegeven. D is de loodrechte projectie van A op de verticale lijn door C. Deze verticale lijn is in de figuur gestippeld weergegeven.
       
 

       
  De afstand AD is ongeveer 139 cm.
       
  a. Toon dit aan.  
       
  Wanneer de monteur de bak recht omhoog verplaatst, zal hoek ABC toenemen. Zie onderstaande  figuur.
       
 

       
  De monteur verplaatst de bak recht omhoog tot CD = 292 cm.
       
  b. Bereken in dit geval de toename van hoek ABC in hele graden nauwkeurig.
       
15. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2016-I

In onderstaande figuur zie je vier vierkanten met hoeken en zijden zoals aangegeven.
       
 

  In deze figuur zijn de vierkanten met zijden p en q lichtpaars gekleurd; van elk van de vierkanten met zijden r en s is de helft donkerpaars gekleurd.
Bewijs dat de totale oppervlakte van de lichtpaarse delen gelijk is aan de totale oppervlakte van de donkerpaarse delen.
       
16. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2019-II
       
  Gegeven is driehoek ABC met AB = 11, BC = 8 en AC = 5 .
Het punt D ligt op zijde AB, zo dat lijnstuk CD loodrecht op zijde AB staat.
Het punt E ligt op zijde AC, zo dat lijnstuk DE evenwijdig is met zijde BC.
Zie de figuur.
       

       
  Bereken algebraïsch de lengte van lijnstuk DE. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
       
17. Vlaamse Olympiade.

Waaraan is x in de driehoek hiernaast gelijk?

       
18. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2021-III

Gegeven is driehoek ABC met AB = 4 en BC =12 .
Punt M is het midden van lijnstuk BC. Verder geldt: AM = 5 .
Bereken algebraïsch de lengte van AC. Geef je eindantwoord in één decimaal.

       
19. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2022-I
       
  Het comfort en het rijgedrag van een fiets worden in belangrijke mate bepaald door de framegeometrie. Naast de lengte van de verschillende buizen waaruit een frame bestaat, gaat het bij de framegeometrie ook om de hoeken waaronder de verschillende buizen staan. Hieronder staat een tekening van een fiets. In de figuur eronder is een tekening van het frame van die fiets gegeven.
       
 

       
  De bijbehorende maten zijn:
  - de liggende achtervork: AB = 425 mm;
  - de staande achtervork: AF = 542 mm;
  - de hoek die de liggende en de staande achtervork met elkaar maken: ∠BAF = 58 °;
  - de hoek die het verlengde van de stuurbuis DE met het verlengde  van AB maakt: ∠BCE = 71°
       
  De zitbuis BF en de stuurbuis DE zijn bijna evenwijdig. Als ze evenwijdig zouden zijn dan zou de hoek die BF met de lijn door AB maakt even groot moeten zijn als ∠BCE . Deze hoeken verschillen echter.

Bereken dit verschil. Geef je eindantwoord in hele graden.
       
20. In 1723 heeft landmeter M. Walraven onderstaande kaart van het Gooi gemaakt. De hoekpunten van de driehoeken op de kaart zijn vaak de kerktorens van de dorpen. Met behulp van een hoekmeetinstrument heeft Walraven enkele hoeken zeer nauwkeurig opgemeten. Verder zijn twee hemelsbrede afstanden bepaald. Met het netwerk van driehoeken op de kaart kunnen zo de afstanden tussen de kerktorens berekend worden.

In 1723 zijn de volgende metingen gedaan:
  - De afstand tussen (de kerktorens van) Laren en Hilversum is 5060 meter.
  - De afstand tussen (de kerktorens van) Naarden en Huizen is 4810 meter.
  - De hoek tussen Laren-Hilversum en Laren-Naarden is 90,9°.
  - De hoek tussen Hilversum-Laren en Hilversum-Naarden is 49,3°.
  - De hoek tussen Naarden-Huizen en Naarden-Laren is 47,7°.
       
  Zie de figuur.
 

       
  Bereken de afstand tussen (de kerktorens van) Huizen en Hilversum. Geef je eindantwoord in tientallen meters nauwkeurig.
       
21. Examenopgave HAVO Wiskunde-B 2023-I

Gegeven zijn de driehoeken ABC en BCQ met AB =10, BC =12 , BQ = CQ = 7 en  ∠BAC = α .
Bovendien is gegeven ∠BQC = 2α.
Zie de figuur.
       
 

       
  Bereken AC. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
       
22. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2023-II

Een shovel is een machine om zand mee te verplaatsen. In de bak van een shovel zit zand. Om het zand te storten, wordt de bak gekanteld.

In figuur 1 staat de beginsituatie. In deze beginsituatie zijn de bovenrand van de bak en de armen AB en ED horizontaal. Punt B ligt loodrecht boven punt D.

Verder geldt in de beginsituatie:
-   AB = 1,50 m, ED = 1,80 m en BD = 0,25 m;
-   A bevindt zich 0,30 m rechts van E en 0,25 m boven E;
-   ∠AED 39,8° .
       
 

       
  In figuur 2 staat de situatie als de bak enigszins gekanteld is. Bij het kantelen blijven de punten B, D en E op hun plek. Door de buis bij A uit te schuiven, wordt AB 10 centimeter langer gemaakt. De afstand AE verandert niet. Hierdoor draait punt A om punt E heen. Arm AB loopt dan niet meer horizontaal en  ∠AED wordt groter.
       
 

       
  Hieronder is figuur 2 met de vierhoek AEDB weergegeven.
       
 

       
  Bereken hoeveel graden de bak in figuur 2 gekanteld is ten opzichte van de beginsituatie. Geef je eindantwoord in hele graden.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)