© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven
   
Schrijf de volgende getallen in de vorm r • eiφ.  Rond  r en φ af op twee decimalen.
               
  a. 8 + 2i     c. -1 - i  
  b. -2     d. 12i  
               
Schrijf de volgende getallen in de vorm a + bi. Rond a en b indien nodig af op twee decimalen.
               
  a. 2 • e3i     d. -4 • e0,5pi  
  b. 6 • e2i -  e5i     e.

e-pi • e0,25pi

  
  c. 5i + 3 • e-2i     f. (3e-2i)2  
               
Schrijf de volgende getallen in de vorm r • eiφ. Rond  r en φ indien nodig af op twee decimalen.
Geef voor φ een hoek tussen 0 en 2π.
               
  a. (3 + 4i)8     e. √(5 + 4i)  
  b. (-1 + i)10     f.  
  c.     g.  
  d. (1/2 + 1/2i√3)50     h. (1 - 0,5i)20 • (-1 + 2i)10  
               
               
Stel  dat je de waarde van  z2 + 3z - 1 overal op de eenheidscirkel zou gaan uitrekenen, dan krijg je allemaal complexe getallen. We zijn erin geïnteresseerd welk van die getallen de grootste modulus (afstand tot de oorsprong) heeft.
               
  a. Voor z op de eenheidscirkel geldt  z = eiφ
Schrijf   z2 + 3z - 1  als functie van φ.
Schrijf ook de geconjugeerde daarvan op.
               
  b. Bereken nu  | z2 + 3z - 1 |2 
   
               
  c. Toon aan dat  | z2 + 3z - 1 |2  = 11 - 2cos(2φ)
Bereken daarmee wat het maximum van   | z2 + 3z - 1 |  is en voor welke z dat wordt bereikt.
   
MEER OPGAVEN
     
5. Je kunt  e2ix  schrijven als  cos2x + i • sin2x
Maar je kunt e2ix  ook schrijven als  (eix)2  dus als  (cosx + i • sinx)2
Door deze twee aan elkaar gelijk te stellen en dan de haakjes weg te werken kun je formules voor cos2x en sin2x afleiden.
               
  a. Geef die afleiding.
     
  b. Geef formules voor sin(3x) en cos(3x).
     
  c. Op deze manier kun je ook formules afleiden voor  cos(a + b)  en  sin(a + b).
Geef zo'n afleiding.
               
6. Formules voor cosnx.....
Stel  z = eiφ.
               
  a. Toon aan dat dan geldt  z + 1/z = z + z -1 = 2cosφ.
               
  Je kunt nu (z + 1/z)3 in één keer schrijven als  8cos3φ  maar ook door  (z + 1/z)3  gewoon uit te schrijven.
               
  b. Toon aan dat dit laatste vereenvoudigt tot  (z + 1/z)3  = 2cos3φ + 6cosφ.
     
  c. Toon aan dat cos3x = 1/4cos(3x) + 3/4cos(x).
     
  d. Maak op deze manier een formule voor cos4x, uitgedrukt in andere cosinussen.
               
7. Met de formule van Euler:  eiφ =  cosφ + isinφ   kun je op een eenvoudige manier (veel eenvoudiger dan voorheen) een bewijs voor de regel van de Moivre  geven. Dat was de regel  dat je bij vermenigvuldigen van twee complexe getallen de afstanden tot O moest vermenigvuldigen en de argumenten moest optellen, weet je nog?

Geef zo'n bewijs.
   
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)