Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven

Teken in het complexe vlak het beeld van de volgende getallenverzamelingen bij de functie f(z) = e^z

Een rechthoek met hoekpunten -1 + 2i , 4 + 2i, 4 + 6i en -1 + 6i

De punten waarvoor geldt Re(z) < 2

De punten waarvoor geldt 0 < Im(z) < 1

Teken in het complexe vlak het beeld van de volgende getallenverzamelingen bij de functie f(z) = ln(z)

De punten waarvoor geldt ¹/₄π < φ < ³/₄π

De lijn y = 2x

De rechte lijn y = ax wordt onder de functie f(z) = ln(z) in het complexe vlak afgebeeld op een horizontale lijn, meerdere eigenlijk.

Wat zijn de vergelijkingen in reële coördinaten van die horizontale lijnen?

Welke lijn komt er terecht op de lijn y = 4¹/₄π ?

In deze opgave bekijken we het beeld van de punten Im(z) = 2 onder de functie f(z) = ln(z)
We bekijken daarbij van het beeld alleen de strook waarvoor geldt 0 ≤ Im(z) ≤ 2π

Leg uit waarom het beeld van deze punten nooit links van de y-as kan terechtkomen.

Leg uit waarom de beelden van de punten helemaal rechts (voor Rez wordt oneindig) naar de x-as toe zullen gaan.

Leg uit waarom het de beelden van de punten helemaal links (voor Rez wordt negatief oneindig) naar de
lijn y = π toe zullen gaan.

Waar ligt het beeld van het getal z = 2i ?

Probeer met de informatie uit de vorige vraagstukken het beeld van Im(z) = 2 te schetsen.

MEER OPGAVEN

Wat gebeurt er eigenlijk met een cirkel bij de functie f(z) = e^z ?

Als je de getallen op een cirkel schrijft als r(cosφ + i sinφ), dan kun je hun beeld onder de functie f(z) = e^z ook uitschrijven. Dan kun je het reële deel en het imaginaire deel daarvan opvatten als een x(t) en y(t) in een parametervoorstelling met φ = t.
Het plotten van de beelden van cirkels met straal ¹/₂, 1 en 2 geeft de plaatjes hieronder (blauw is r = 2)

Probeer deze figuren zelf te produceren op je GR.