© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
         
a. ln(4x) = 2 g. 2 + lne2 = lnx
           
  b. ln(x + 6) = 2lnx h. lnx + ln2x = ln(x + 1)
           
  c. ln(√x) = lnx + 2 i. ex - 1 = 4
           
  d. 3lnx = lnx + 2 j. ln(e/x) = 3 + lnx
           
  e. 2 • ex = 6 k. ln(e2x + 1) = x - 5
           
  f. elnx = 3x - 8 l. e2x + 2 = 3ex 
           
Tussen de grafieken van y = lnx en y = ln(2x) wordt een rechthoekige driehoek getekend zoals in de figuur hiernaast. A en B zijn de snijpunten van de lijn y = p met de grafieken. C  ligt op de grafiek van y = ln(2x) en hoek ABC is recht.

Bereken voor welke p de oppervlakte van driehoek ABC gelijk is aan 4ln2.

           
Gegeven zijn de functies:  f(x) = e2x  en   g(x) = 1 - e-x
Beiden hebben domein [-2, 3]
           
  a. Bereken exact een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van  f  in het punt waarvoor x = -1. Rond de getallen in je antwoord niet af!
           
  De horizontale lijn y = p snijdt de grafiek van  f  in punt A en die van g in punt B.
Voor de lengte L van lijnstuk AB blijkt te gelden: L = -ln(√p - p√p) 
           
  b. Toon aan dat deze formule juist is.
         
MEER OPGAVEN
       
4.   is vreemd genoeg altijd een constante!  Toon dat aan.
         
5. Wijken in een stad die dicht bij het centrum liggen zijn dichter bevolkt dan wijken verder van het centrum af.
In 1950 begon men een onderzoek naar het verband tussen de bevolkingsdichtheid in een stad en de afstand tot het stadscentrum.
De bevolkingsdichtheid D in een punt P is het aantal inwoners in een cirkelvormig gebied rond P met een oppervlakte van 1 km2.
In de figuur hiernaast zie je een grafiek die voor een bepaalde stad het verband tussen de afstand x tot het stadscentrum (in km) en de bevolkingsdichtheid D weergeeft.
 
  Uit deze grafiek kun je aflezen dat op een afstand van 4 kilometer van het stadscentrum de bevolkingsdichtheid gelijk is aan 10000 inwoners per km2.
Bij de grafiek hiernaast hoort de exponentiële formule  
D = a · e -bx .  Hierin zijn a en b constanten
         
  a. Bereken met behulp van de grafiek hierboven de waarden van a en b. Rond in je antwoord gevonden waarden die niet geheel zijn af op twee decimalen.
         
  Voor een tweede stad heeft men het volgende lineaire verband tussen ln(D) en x gevonden:    ln(D) = 10 - 0,2x.
         
  b. Toon algebraïsch aan dat bij benadering geldt:  D = 22000 · e -0,2x
         
6. Examenopgave VWO Wiskunde B, 2010
     

In de figuur hiernaast is voor x ≥ 0 de grafiek getekend van de functie f die gegeven is door:  
 f (x) = 8x/ex

Deze grafiek heeft één top, die we A noemen
       
  a. Bereken exact de x-coördinaat van A.
         
    We bekijken nu voor positieve waarden van n met n ≠1 de functie gn die is gegeven door 
gn(x) = 8nx/ex

De grafieken van gn snijden de grafiek van f in het punt (0, 0). Ook is er voor elke positieve waarde van n met n ≠ 1 nog een ander snijpunt.

In de volgende tabel staat voor enkele waarden van n de x-coördinaat van dit andere snijpunt.
         
   
n 2 3 4 5
xsnijpunt ln2 1/2ln3 1/3ln4 1/4ln5
         
    Voor de vier waarden van n uit de tabel geldt:   xsnijpunt = 1/(n-1) • ln n
Hieruit ontstaat het vermoeden dat deze formule voor snijpunt x klopt voor elke positieve waarde van n met n ≠1.
         
  b. Toon aan dat dit vermoeden juist is.
         
7. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2006

Om 15.00 uur wordt het verwarmingselement van een sauna aangezet. Vanaf dat moment wordt de sauna opgewarmd. Dan geldt:  S(t) = 200 - 180 • e-0,29t
Hierin is S de temperatuur in de sauna in graden Celsius en t de tijd in uren vanaf 15.00 uur.

De thermostaat van de sauna is ingesteld op 100ºC. Zodra die temperatuur bereikt is, wordt het opwarmen gestopt. Vanaf dat moment wordt de temperatuur constant gehouden. In onderstaande figuur staat de grafiek van  S.

 
         
   

         
  a. Bereken hoe laat het opwarmen wordt gestopt. Geef het tijdstip in minuten nauwkeurig.
         
  b. Bereken met behulp van differentiëren de snelheid waarmee de temperatuur in de sauna toeneemt om 16.00 uur. Geef je antwoord in tienden van graden Celsius per minuut.
         
  Om bij een ingestelde temperatuur van de thermostaat uit te rekenen hoe lang de sauna nodig heeft om deze temperatuur te bereiken, kun je een formule gebruikten die t uitdrukt in S.
         
  c. Druk t uit in S.  
         
8. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2013.

De functie f is gegeven door:  f(x) = (1 + lnx)/x
Voor elke waarde van c is de functie gc gegeven door  gc(x) = (c + lnx)/x
De grafiek van f wordt ten opzichte van de x-as vermenigvuldigd met e, het grondtal van de natuurlijke logaritme. Vervolgens wordt de zo verkregen grafiek ten opzichte van de y-as vermenigvuldigd met 1/e . 
Hierdoor ontstaat de grafiek van gc voor een waarde van c.

Bereken exact deze waarde van c.
         
9. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2008.

De functie f is gegeven door f(x) = e−2x.  A is het snijpunt van de grafiek van f met de y-as. B is het snijpunt van de raaklijn aan de grafiek van f in A met de x-as. Zie de figuur.
         
  a. Bereken exact de x-coördinaat van B
         
  De grafiek van g ontstaat uit de grafiek van f door deze over een afstand a omlaag te schuiven, met 0 < a < 1. De grafiek van g heeft zowel een snijpunt met de x-as als met de y-as.
         
  b. Bereken voor welke waarde van a deze snijpunten even ver van O(0, 0) liggen.
         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)