© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
Geef de afgeleiden van de volgende functies:
         
  a. e.
         
  b. f.
         
  c. g.
         
  d. h.
         
Gegeven is de functie:
 

       
  Je kunt de afgeleide daarvan berekenen met de quotiëntregel maar ook door de breuk eerst in twee aparte breuken te splitsen. Bereken op deze twee manieren de afgeleide van  f  en laat zien dat de beide manieren hetzelfde resultaat geven.
       
Gegeven is de functie
 

       
  a. Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt van de grafiek waarvoor x = 0,5.
       
  b. Bereken algebraïsch in twee decimalen nauwkeurig de afstand tussen het maximum en het minimum van de grafiek van deze functie.
       
Laat zien dat de functie:
       
 

       
  voor elke a een extreme waarde van y = -4a heeft.
       
Als je last hebt van koorts, dan kun je daar een koortswerend middel tegen innemen. De bekendsten zijn waarschijnlijk paracetamol en ibuprofen.
Die middelen zorgen ervoor dat de lichaamstemperatuur zakt naar het "normale" niveau.
Neem aan dat na inname van een tablet paracetamol geldt:
       
 

       
  Daarin is T de temperatuur in  ºC en t de tijd na inname in uren.
       
  a. Toon aan dat de temperatuur vanaf t = 0 alsmaar daalt.
       
  b. Hoe snel daalt de temperatuur op t = 3?
       
     
MEER OPGAVEN
       
6. Geef de afgeleide van de volgende functies (je hoeft niet te herleiden):
       
  a.  
       
  b.  
       
7. Een neuropsycholoog meet bij een aantal proefpersonen het adrenalinegehalte in het bloed tijdens het kijken naar een horrorfilm. Zij ontdekte dat het volgende verband dat gehalte aardig goed beschrijft:
       
 

       
  Daarin is A het adrenalinegehalte (in mmol/liter) en t de tijd in uren met t = 0 op het moment dat de film begint.
       
  a. Toon aan dat het adrenalinegehalte van een proefpersoon uiteindelijk weer even groot wordt als aan het begin van de film.
       
  b. Het adrenalinegehalte is natuurlijk maximaal op het spannendste moment van de film. Na hoeveel minuten was dat? Geef een algebraïsche berekening.
   
8. Gegeven is de functie:
 

           
  a. Bereken de coördinaten van het minimum van de grafiek van f.
           
  b. Er zijn twee punten op de grafiek van f waar de raaklijn helling 1,5 heeft. Welke twee punten zijn dat?
           
  c. Voor welke waarden van p heeft de vergelijking  f(x) = p geen oplossingen?
           
  d. Hoe groot wordt de helling van de grafiek van f als x oneindig groot wordt?  Wat betekent dat voor de grafiek?
           
           
9. Als je een tablet van een pijnstiller inneemt, dan duurt het even voordat alle werkzame stof in je bloed is opgenomen. Voor de concentratie C (in mg/liter) als functie van de tijd t (in minuten na inname) geldt het volgende verband:
           
 

           
  a. Hoe groot zal die concentratie maximaal worden? Geef een algebraïsche berekening, en je antwoord in 2 decimalen nauwkeurig.
           
  b. Wanneer is de snelheid waarmee C afneemt maximaal?
           
           
10. Een boer heeft zijn koeien een poos bijgevoederd met krachtvoer en ze zijn inderdaad steeds meer melk gaan geven. Hij vindt het bijvoederen nu toch wel wat duur worden, en besluit daarom (op t = 0) ermee te stoppen.
De daaropvolgende dagen merkt hij dat de koeien nog eventjes meer melk gaan geven, maar dat daarna de melkproductie langzaam weer afneemt. Hij ontwikkelt het model:
           
 

           
  M is in liters melk per koe per dag, t is de tijd in dagen.
           
  a. Hoeveel melk gaf een koe per dag op het moment van stoppen met  bijvoederen?
           
  b. Toon aan dat na het stopzetten de melkproductie eerst nog blijft stijgen.
           
  c. Bereken algebraïsch de maximale melkproductie per koe per dag die er bereikt zal worden.
           
  d. Bereken hoe groot de melkproductie op de lange duur zal worden.
           
11. Het kenmerk van een rage is, dat de belangstelling voor een nieuw merk in korte tijd zeer snel toeneemt, dan een poosje bijna constant blijft, en uiteindelijk langzaam weer afneemt. Een wiskundig model voor een rage is:
           
 

           
  Daarin is P het percentage van de markt dat het merk inneemt en t  de tijd in dagen met t = 0 het tijdstip waarop het merk op de markt verschijnt.
           
  a.  Bereken algebraïsch het maximale percentage dat zo'n merk zal bereiken.
           
  b. Bereken algebraïsch hoe lang zo'n merk minstens 39% van de markt zal  innemen.
           
12. Het aantal calorieën (C) dat een zwemmer per minuut verbruikt is evenredig met v2  waarbij v zijn snelheid in m/s ten opzichte van het water is.  (Er geldt dus  C = k . v2  waarbij k een constante is die per zwemmer verschilt)

Een zwemmer zwemt tegen de stroom in, en de stroomsnelheid van het water is 1 m/s.
Hij legt een afstand van 3 km af.  Voor zijn calorieverbruik geldt dan:
           
 

           
  a. Toon aan dat deze formule juist is.
           
  b. Bereken bij welke snelheid ten opzichte van het water een zwemmer met het minste calorieën verbruikt bij het afleggen van deze 3 km. Leg duidelijk uit waarom de waarde van k geen invloed op deze berekening heeft.
     
13. De hoeveelheid glucose in ons bloed noemen we de bloedsuikerspiegel.
Als we eten wordt die bloedsuikerspiegel hoger. Sommige voedingsmiddelen, zoals koolhydraatrijke en suikerhoudende producten, kunnen de bloedsuikerspiegel zeer veel laten stijgen (dat heten voedingsmiddelen met een hoge glycemische index).
Na het eten stijgt de bloedsuikerspiegel dus, om na verloop van tijd (als de suikers in de cellen verbrand worden) weer te dalen. Het volgende model blijkt te gelden:
           
 

           
  Daarin is B de bloedsuikerspiegel in mmol/liter en t de tijd in minuten met t = 0 op het moment van voedselinname.
g is de glycemische index, en is een getal tussen 5 en 10.
           
  a. Een voedingsmiddel heeft g = 8.  Bereken algebraïsch de maximale bloedsuikerspiegel die bereikt zal worden.
           
  Hiernaast zie je een grafiekenbundel voor verschillende waarden van g

       
  b. Onderzoek met de formule of de B-waarde uiteindelijk weer zal eindigen op de waarde aan het begin.
       
  In deze grafiekenbundel lijkt het erop dat de maximale waarde van B volgens dit model steeds op hetzelfde tijdstip t wordt bereikt.
       
  c. Toon aan dat dat inderdaad het geval is, en bereken de exacte waarde van t waarvoor dit het geval is.
           
14. Als gevolg van een voedselvergiftiging ligt Robert al enkele dagen in het ziekenhuis. Zijn lichaamstemperatuur zal volgens de doktoren het volgende verloop hebben:
           
 

           
  waarin t de tijd in dagen is, gerekend vanaf het moment dat Robert ziek werd, en T zijn lichaamstemperatuur in °C.
Robert is genezen als zijn temperatuur weer 37°C is
           
  a. Toon met de afgeleide aan dat de lichaamstemperatuur direct na de vergiftiging stijgt.
           
  b. Bereken algebraïsch de maximale temperatuur die wordt bereikt.
           
           
         
15. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2000.
       
  Voor  p > 0 zijn gegeven de functies:  
 

  Hiernaast is de grafiek van g1 getekend.
     
  a. Onderzoek f1 en teken de grafiek van f1 in de figuur hiernaast. Bepaal hierbij ook de eventuele snijpunten van de grafieken van f1 en g1.
       
  Voor elke p > 0 liggen de toppen van de grafiek van fp zowel op de verticale asymptoten van de grafiek van gp als op de kromme  y = 1/x.
       
  b. Bewijs dit.
       
16. examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 1994.
       
 
  Toon aan dat de lijn y = 41/2x - 3 de grafiek van f zowel snijdt als raakt.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)