© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
Bereken algebraïsch:  
       
  a. 12 + 19 + 26 + 33 + 40 + ... + 208  
       
  b. 2 + 57 + 112 + 167 + 222 + ... + 6822  
       
Een kunstenaar gaat een geluidswal langs een snelweg versieren. Dat doet hij door er afwisselend zwarte en rode verticale strepen op te schilderen. De eerste streep (n = 1)  is 5 cm breed, en elke volgende streep is 3 cm breder dan de vorige. Dat geeft zo'n soort effect:
       
 

       
  Hij begint met een zwarte streep. De hele schutting is 49 meter breed.
       
  a. Geef een directe formule voor de breedte van streep nummer n.
       
 

Voor de totale lengte L die hij na n strepen heeft geverfd geldt:  L(n) = 3,5n + 1,5 n2
       
  b. Toon aan dat deze formule juist is, en leg daarna uit dat uit deze formule volgt dat de kunstenaar in totaal 56 strepen kan verven.
       
  Na  56 strepen is de schutting dus vol geverfd. De laatste streep past precies tot het einde van de schutting.
       
  c. Wat is de totale breedte van alle zwarte strepen die hij heeft geverfd?
       
Sven Kramer was een kanjer op de 10 kilometer.  Zoals je vast wel weet bestaat de 10 km schaatsen uit 25 rondjes van elk 400 meter.
Stel dat Sven het eerste rondje rijdt in  34.0  maar elk volgend rondje 0,2 seconden langzamer dan het vorige.
Dat heet in vaktermen een oplopend schema.
       
  a. Wat zal zijn eindtijd dan zijn?
       
  b. Hoe snel zou hij het eerste rondje moeten rijden om met dit oplopende schema een eindtijd van 15 minuten te halen?
       
Ik teken op papier een aantal trapjes (zie figuur onder). eerst één met onderkant 1, dan één met onderkant 2, dan met onderkant 3, enzovoorts.
De omtrek van trapje nummer n noem ik un, de oppervlakte van trapje n noem ik vn.
       
 

       
  a. Ik ben van plan 100 trapjes te gaan tekenen maar bij nummer 80 merk ik dat mijn pen leeg begint te raken. Hoeveel procent van de totale lengte van alle lijntjes die ik moet tekenen voor 100 trapjes heb ik na 80 trapjes al getekend?
       
  b. Bereken de oppervlakte van het honderdste trapje.
       
Hiernaast zie je een blokvormige spiraal die in een vierkant van zijde 8 past. De windingen hebben een onderlinge afstand van 1 cm.

     
  a. Hoe lang is de spiraal in totaal?
     
  b. Hoe lang wordt zo'n spiraal in een vierkant met zijde 150 cm?
     
  c Hoe groot zou het vierkant moeten zijn om een spiraal met lengte meer dan 10000 te krijgen?
       
MEER OPGAVEN
       
6. Een boer heeft 2000 geiten.
Elke geit geeft elke dag een halve liter melk.
Echter, elke dag worden er 5 geiten geslacht (nadat ze melk hebben gegeven).
De eerste dag krijgt de boer dus 1000 liter melk.
Na 400 dagen zijn alle geiten weg.
Hoeveel liter melk heeft de boer dan in totaal gekregen?
       
7. Eerst tel je een aantal getallen vanaf 1 bij elkaar op, dus  1 + 2 + 3 + ... + n
Daarna mag je één van deze getallen weglaten.
Van de overige getallen bereken je het gemiddelde.
Daar komt 357/17 uit. Ik ben nu erg benieuwd welk getal is weggelaten...

Het hoogst mogelijke gemiddelde is gelijk aan  0,5(n + 2) en het laagst mogelijke gemiddelde aan 0,5n
       
  a. Toon dat aan.  
       
  b. Welk getal is weggelaten?
       
8. Iemand begint een baantje als leerling meubelmaker. In het begin maakt hij alleen maar stoelen.
De eerste dag zet hij 8 stoelen in elkaar, maar daarna krijgt hij steeds meer ervaring. Elke volgende dag zet hij 3 stoelen méér in elkaar dan de vorige.
Noem het aantal stoelen dat hij de nde dag in elkaar zet sn
       
  a. Geef een recursievergelijking en een directe vergelijking voor sn
       
  b. Hoeveel stoelen heeft hij in totaal in elkaar gezet na 50 dagen?  
       
9. Een goede vriend van mij heeft €10.000,- van me geleend.
We hebben afgesproken dat hij mij elke maand een bedrag zal terugbetalen. De eerste maand is dat  €100, en elke volgende maand is dat 20 euro meer dan de vorige.
       
  a. Geef een directe formule voor het bedrag dat hij mij in maand n terugbetaalt.
       
  b. Hoeveel heeft hij na 12 maanden in totaal terugbetaald?
       
  Voor het totale bedrag B dat hij na n maanden heeft terugbetaald geldt de formule  B = 10n2 + 90n.
       
  c. Toon dat aan.  
       
  d. Hoe lang zal het duren voordat zijn gehele schuld is terugbetaald?  
       
10. Als je de hoeken van een tienhoek met de klok mee bekijkt is elke hoek 10 graden meer dan de vorige.
Hoe groot is de eerste hoek?
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)