© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
a. Door te schrijven  sin(3α) = sin(2α + α)  kun je bewijzen dat  sin(3α) =  3sinα - 4sin3α
Bewijs dit.
       
  b. Toon aan dat  sin(4α) = 4sinαcos3α - 4sin3αcosα
       
  c. Toon aan dat  sin(4α) = 2sin2α • (1 - 2sin2α)
       
In een rechthoekige driehoek ABC met AC = 4 wordt de bissectrice CP getekend. Het blijkt dat AP = 3.

Bereken BC.

 
       
Bereken de nulpunten en de extreme waarden die de functie  f(x) = sin2x - 2sinx  in het interval [0, 2π] heeft.
       
a.
       
  b. cos2x - sinx = 0
       
examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2001.

Met domein [0, 2π] zijn de functies f en g gegeven door:
f(x) = 2sin2x  en   g(x) = 1 - cosx

Hiernaast zijn de grafieken van f en g getekend.

De vlakdelen ingesloten door de grafieken van f en g zijn in deze figuur aangegeven door A, B en C, en ingekleurd

       
  a. Bereken de maximale lengte van een verticaal lijnstuk in het vlakdeel A.
       
  b. Bereken algebraïsch de oppervlakte van het vlakdeel B.
       
     
MEER OPGAVEN
       
6. a. Omdat je weet dat  sin(1/6π) = 1/2 kun je met de verdubbelingsformule nu ook een exacte waarde voor sin(1/12π) uitrekenen. Dat kan door te kiezen α = 1/6π. 
Bereken die exacte waarde van sin(1/12π).
       
  b. Geef op dezelfde manier een exacte waarde voor cos(1/8π).
       
  c. Geef met het antwoord op de vorige vraag een exacte waarde voor cos(1/16π)
       
7.
       
8. Een leerling heeft zijn proefwerk wiskunde-B niet zo goed geleerd, en meldt zich daarom maar ziek op de proefwerkdag. Maar op de inhaaldag heeft hij het nog steeds niet al te goed geleerd.
Zo schrijft hij o.a. de volgende onzin op:  cos 2α = 2 • cosα.

Oei!!!
Maar wat blijkt: hij vindt toch de goede hoek α bij deze opgave!

Bepaal wat deze hoek α moet zijn geweest. Doe dat op twee manieren:   
       
  a. Met de grafische rekenmachine.
       
  b. Algebraïsch; bereken α op twee decimalen nauwkeurig.
     
9. Om te onthouden waar zij in haar boek is gebleven vouwt Lilian de bladzijden altijd om zoals hiernaast.

Als de breedte van een bladzijde 16 cm is, dan geldt voor de lengte L van de vouw:

L =  8/(sinα - sin3α)

Toon dat aan.

     
10. ABC is een driehoek met BC = 4, CA = 5 en AB = 6
Bewijs dat dan ∠C = 2 • ∠A 
Gebruik de cosinusregel!
     
11. Los algebraïsch op in  [0, 2π]:    cos(4x) + 2cos2x = 0
     
12. Los op:   √(4 - 7sin2x) = cosx - sinx
     
13. Gegeven zijn op interval  [0, 1/2π] de functies  fa(x) = asinx  en g(x) = 1/cosx.
     
  a. Bereken de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f3 en g. Geef je antwoorden in 2 decimalen nauwkeurig
     
  b. Voor welke a hebben de grafieken geen snijpunt?
     
14. Gegeven is de functie f(x) = sin(ax)  voor  0 < x < π/a
V is het vlakdeel in gesloten door de grafiek van f en de x-as.
V wordt gewenteld om de x-as.
Toon aan dat het omwentelingslichaam dat dan ontstaat altijd inhoud 1/2π2 heeft, onafhankelijk van a.
     
15.

Op het domein [0,2p] zijn gegeven de functies:

fn (x) = 1 + sin2x + cos nx  waarbij n  een positief geheel getal is.

Als je de grafiek van f2 door de GR laat tekenen, lijkt deze op een sinusoïde. Er geldt inderdaad  f2(x) = a + bsin c(x - d)
     
  a. Geef een mogelijke combinatie van waarden voor a, b, c, en d. Licht je antwoord toe.
       
  f4(x)  is te schrijven als  f4(x) = 11/2   -  1/2cos 2x + cos 4x
       
  b. Toon aan dat dit juist is.  
       
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)