© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

1. Examenopgave VWO Wiskunde A, 2009

In 1972 werd de mesoplodon densirostris ontdekt in de oceaan. Het is een dolfijnensoort die 7 meter lang kan worden. Mede naar aanleiding van deze vondst deed de bioloog C. Paxton onderzoek naar de vraag hoeveel van dergelijke grote diersoorten er in de toekomst nog meer ontdekt zullen worden. Paxton beperkte zich tot wat hij zeemonsters noemde: dieren die in zee leven en meer dan 2 meter lang kunnen worden.
       
 

       
  Op basis van gegevens over het aantal ontdekte zeemonsters in verschillende jaren stelde Paxton het volgende model op:
 

       
  Met dit model kon hij een schatting maken van het aantal ontdekte soorten tot en met een zeker jaar t. In deze formule is P(t) het aantal soorten dat tot en met jaar t bekend is. Dus als je een schatting wilt van het aantal soorten dat bijvoorbeeld op het eind van het jaar 1980 bekend is, dan moet je t = 1980 invullen in de formule. De uitkomst wordt afgerond op gehelen.

Vanaf eind 1895 tot en met eind 1995 zijn er in werkelijkheid 30 soorten ontdekt.
       
  a. Bereken hoeveel soorten er volgens het model van Paxton zouden zijn ontdekt in deze periode.
     

34
  J. Groot schreef in 2003 een artikel in het wiskundeblad Pythagoras over het model van Paxton. Daarin schreef hij dat hij met dezelfde gegevens een ander model had gevonden. Zijn model zag er als volgt uit:
G(t) = 218 • (1−0,9799t − 1798 )
In deze formule is G(t) het aantal soorten dat tot en met jaar t bekend is. Ook hier wordt de uitkomst afgerond op gehelen.

De twee formules hierboven zijn verschillend, dus je mag verwachten dat beide modellen niet altijd dezelfde uitkomsten opleveren. Voor t = 1931 bijvoorbeeld geeft het model van Paxton 202 soorten en het model van Groot 203. Vanwege de afronding op gehelen is er een aantal jaren waarvoor de twee modellen wél dezelfde uitkomst geven. Onder andere is dat het geval bij t = 1938: beide modellen leveren dan elk 205 bekende soorten. Er zijn nog meer jaren uit de periode 1930 tot en met 1945 waarvoor beide modellen dezelfde uitkomst geven.
       
  b. Onderzoek welke jaren dat zijn.
     

1941, 1942,
1944, 1945
  Paxton en Groot ontwikkelden hun modellen vooral om een schatting te kunnen maken van het aantal soorten zeemonsters dat men in de toekomst nog zou kunnen ontdekken. Elk van deze beide modellen voorspelt dan ook dat het aantal soorten zeemonsters een grenswaarde heeft. Volgens het model van Paxton zullen er na 2009 nog 42 soorten zeemonsters ontdekt worden.
       
  c. Bereken hoeveel soorten zeemonsters er na 2009 nog ontdekt zullen worden volgens het model van Groot.
     

3 soorten
   
2. Onderstaande tabel geeft de grootte van een menselijk embryo in de eerste 16 weken van de ontwikkeling.
   
 
week nr. 1 2 3 5 6 7 8 9 14 16
lengte in mm 0,02 0,2 0,8 3,0 6,0 15 25 35 90 150
   
  Twee artsen stellen een model op dat deze groei beschrijft.
De eerste arts denkt dat geldt  L(w) = 0,023 • w3,21   en de tweede arts denkt dat geldt  L(w) = 0,12 • 1,7w 
       
  a. Bereken voor welke weken de eerste formule een grotere waarde aangeeft dan de tweede
     

0 tm 13
  b. Leg uit welk model je beter vindt passen bij de gegevens uit de tabel.
       
  Omdat een embryo nou eenmaal niet onbeperkt groter kan worden, zijn de formules voor grotere waarden van w niet meer geldig. Een derde arts stelt een nieuwe formule op die hier rekening mee houdt.
Hij komt tot de formule 
   
       
  c. Welke lengte zal het embryo volgens deze formule uiteindelijk krijgen?
     

45 cm
  d. Na hoeveel tijd zal de lengte van het embryo voor het eerst meer dan 30 cm zijn?
     

16,35 weken
3. Examenopgave VWO Wiskunde B, 2013
       
  De functie f is gegeven door  
f(x) = 1/6√(87x - 3x2 - 2x3)  
In de figuur hiernaast is de grafiek van f getekend en ook het spiegelbeeld hiervan in de x-as. De twee grafieken vormen samen een figuur die lijkt op een doorsnede van een ei.

Op de x-as en de y-as is de eenheid 1 cm. In de figuur is aangegeven wat bedoeld wordt met de lengte en de breedte van het ei. De lengte van het ei is ongeveer 5,9 cm.

       
  a. Bereken op algebraïsche wijze de lengte van het ei in cm. Rond je antwoord af op twee decimalen.
   

5,89 cm

  Een eierrekje bevat een aantal even grote ronde openingen. Zie de foto.

Wanneer we het ei van bovenstaande figuur in een opening van het eierrekje plaatsen met de brede kant onder, steekt het 4,3 cm boven het rekje uit. Zie onderstaande figuur links.
 

       
  We kunnen het ei ook met de smalle kant onder in een opening van het rekje plaatsen. Zie de figuur  rechts.
       
  b. Bereken hoeveel cm het ei dan boven het rekje uitsteekt. Rond je antwoord af op één decimaal
     

3,6 cm
       
4. Een deel van de achtbaan Goliath in pretpark Six Flags wordt omschreven door de formule:  
h(x) = 7x2 + 75 - 0,9x3
Daarin is h de hoogte boven de grond,  en x de horizontale afstand, met  0 < x < 8.
       
  a.

Bereken voor welke waarden van x de baan hoger dan 95 meter is.
     
tussen 1,95 en 7,37
  Om het karretje weer af te remmen gebruikt men een traject met formule  h(x) = 288,8/(2x - 12)  - 10
       
 

       
  b. Geef met een berekening aan dat de beide baandelen inderdaad precies op elkaar aansluiten.
       
  c. Bij welke horizontale afstand staat het karretje weer aan de grond?
     
20,44 m
5. Billie en Bessie Turf zijn twee gezellige dikkerds. Ze wegen op 1 december (t = 0)  beiden ongeveer 90 kg en hun gewicht is door hun ongezonde leefpatroon nog steeds continu aan het toenemen.
Daarom besluiten beiden na een poosje toch maar een dieet te gaan volgen.
Omdat dat moet van hun diëtiste houden ze lange tijd hun gewicht bij, en de diëtiste stelt na afloop de volgende wiskundige modellen op voor deze gewichten:
       
  Billie:   G = 90 - 8 • 1,3(-t² + 76t - 1444) + 0,2t 
Bessie:  G = (0,9t - 14,5) • 2,7(-0,002t² + 0,065t - 0,53) + 98

Daar bij is t = 0 op 1 december, en t is de tijd in dagen.
G is het gewicht in kg.
       
  a. Plot de grafiek van het gewicht van Billie voor t = 0 tot t = 60. Kies een venster voor y zodat de grafiek duidelijk in beeld is.
       
  b. Wanneer is Billie waarschijnlijk begonnen aan zijn dieet?
     
t = 33,88
  c. Plot in dezelfde figuur het gewicht van Bessie, en bereken wanneer beiden even zwaar waren.
     
t = 52,3
t = 7,9
  d. Wat is het maximale gewicht van Bessie geweest?
   
106,7 kg
  e. Onderzoek of er een moment is geweest waarop Billie meer dan 16 kg lichter was dan Bessie.
     
  f. Hoe groot zal Bessie's gewicht uiteindelijk worden als ze dit dieet volhoudt?
     
98 kg
6.

De Lidl is er trots op al een aantal jaar de beste supermarkt voor groenten en fruit te zijn. Dat komt er mede door, omdat de Lidl de gekochte voorraden groenten en fruit zo kort mogelijk in haar pakhuizen laat liggen, en zo snel mogelijk in de winkels brengt.

Voor kwaliteit van de Elstar appels zie je hieronder twee grafieken. De linkergrafiek geeft aan hoe de kwaliteit (op een schaal van 0 tot 100) van de appels afhangt van het aantal dagen dat ze in het pakhuis liggen. De rechtergrafiek geeft aan hoe de hoeveelheid verkochte appels per week in een Lidl-filiaal afhangt van de kwaliteit.
       
 

       
  a.

In een bepaalde week wordt 500 kg Elstar appels verkocht.
Bepaal hoe lang die appels in het pakhuis hebben gelegen.
       
  Voor het aantal verkochte kilos (A) bij kwaliteit K geldt ongeveer de formule:
       
 

       
  b. Bereken  vanaf welke kwaliteit er minstens 500 kg verkocht zal worden.
       
 

Iemand anders gebruikt het volgende model:
 

       
  c. Bereken bij welke kwaliteit beide modellen dezelfde verkoop voorspellen
       
7. De lengte van Nederlandse jongens in de puberteit kan worden beschreven met de formule:
       
 

       
  Hierin is t de leeftijd in jaren en Lj de lengte in centimeters.

Rond het negentiende levensjaar, aan het eind van de puberteit, is een jongen bijna uitgegroeid. De formule is echter ook te gebruiken voor de jaren na de puberteit.
       
  a. Bereken hoeveel centimeter jongens volgens de formule nog groeien vanaf de dag dat ze 19 jaar worden. Geef je antwoord in één decimaal.
     
1,5 cm
  Er is ook een wiskundig model voor de lengte van Nederlandse meisjes in de puberteit:
       
 

       
  Hierin is t de leeftijd in jaren en Lm de lengte in centimeters.

Het is bekend dat meisjes in de eerste jaren van de puberteit gemiddeld genomen langer zijn dan jongens. Ergens tussen de tiende en dertiende verjaardag is het verschil in lengte tussen jongens en meisjes maximaal.
       
  b. Bereken dit maximale lengteverschil in centimeters. Geef je antwoord in één decimaal.
     
2,5 cm
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)