© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
   
1. ABCD is een koordenvierhoek, met BD een middellijn van de cirkel.
PQ staat loodrecht op BD

Toon aan dat PACQ ook een koordenvierhoek is.

       
2. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2009.

Gegeven is een gelijkzijdige driehoek ABC.
l is de lijn door C, evenwijdig aan AB.
E is een willekeurig punt op l.
Punt D ligt op BC zó, dat ∠AED = 60º. Zie de figuur hiernaast.

ACDE is een koordenvierhoek.

     
  a. Toon dat aan
     
  b. Toon aan dat ∠CED = ∠CAD.
       
  c. Toon aan dat driehoek ADE gelijkzijdig is.
       
3. In een scherphoekige driehoek ABC is CD de hoogtelijn vanuit C.
E en F liggen op AC en BC zodat  DE en DF loodrecht op AC en BC staan.
Toon aan dat er een cirkel is die door A, B, E en F gaat.

 
hint 1: Toon aan dat CEDF een koordenvierhoek is
hint 2: Toon aan dat ∠CDE = ∠CFE
hint 3: Toon aan dat ∠CAB = ∠CFE
 
       
4. Twee even grote cirkels met middelpunten M en N snijden elkaar in A en B.
Een lijn door B snijdt de ene cirkel in de punten  P en Q.

Toon aan dat AP = AQ.
 

     
 
hint 1: noem ∠AMB = 2α, dan is ∠APB = 180-α
hint 2: toon aan dat  ∠BQA = ∠QPA
 
       
5. ABCD is een koordenvierhoek in een cirkel met straal r.
DC en AB snijden elkaar in P

     
  a. Toon aan dat  PC • PD = PA • PB
     
  b. Toon aan dat  PA • PB = PM2 - r2
       
 
hint: gebruik het feit dat  (a - b)(a + b) = a2 - b2
 
       
6. Toon in de figuur hiernaast aan dat  p + q = c - a

       
7. Stelling van Bramagupta.

Als van een koordenvierhoek de diagonalen elkaar loodrecht snijden in S, dan staat de lijn die het midden van een zijde met S verbindt loodrecht op de overstaande zijde.

In de figuur hiernaast is M het midden van DC en staat dus MP loodrecht op AB.

Toon dat aan.

       
 
hint: Toon aan dat DSC en APS gelijkvormig zijn.
 
       
8. AB is een koorde in een cirkel.
DC is de middelloodlijn van AB.
Een willekeurige lijn door C snijdt de cirkel in Q en AB in P
Toon aan dat de punten MPQD op een cirkel liggen.

       
9. Vier punten ABCD liggen op een cirkel zo dat AB en CD evenwijdig aan elkaar zijn. 
AC en BD snijden elkaar in P.

     
  a. Toon aan dat CP = DP.
     
  b. Toon aan dat BD = AC.
       
10. (vervolg van opgave 4)
In een driehoek ABC is AD een hoogtelijn.
DE staat loodrecht op AB en DF staat loodrecht op AC.

Toon aan dat  ∠B = ∠AFE

     
 
hint 1: Toon aan dat  ∠ADE = ∠B
hint 2: Toon aan dat A, E, F en D op een cirkel liggen
       
11. In driehoek ABC zijn drie hoogtelijnen getekend. Die snijden de andere zijden in D, E en F.
D wordt gespiegeld in CB en levert D' op.

Bewijs dat D' op het verlengde van EF ligt.

     
 
hint 1: ∠BAC = ∠CFE
hint 2: ∠DFB = ∠BAC
       
12. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2001

In de figuur hiernaast is koordenvierhoek ABCD getekend. AD is evenwijdig aan BC; ABCD is dus een trapezium.

Bewijs de volgende stelling:
Als een koordenvierhoek een trapezium is, heeft hij twee overstaande zijden die even lang zijn.

       
13. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2002

Gegeven is een vierhoek ABCD met hoeken  α, β, γ en δ. De cirkel die raakt aan een zijde van de vierhoek en aan de verlengden van de twee aangrenzende zijden, noemen we een aangeschreven cirkel van de vierhoek. De middelpunten van de aangeschreven cirkels van vierhoek ABCD zijn M, N, O en P. Zie onderstaande figuur.
       
 

       
  a. Bewijs dat de punten M, B en N op één lijn liggen.
       
  We weten nu dat A, B, C en D op de zijden van vierhoek MNOP liggen. Zie de figuur hieronder.
       
 

       
  b. Bewijs dat de punten M, N, O en P op één cirkel liggen.
       
14. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2005

Gegeven zijn de cirkels c1 en c2 met middelpunten M1 en M2 en stralen r1 en r2.
Cirkel c1 is groter dan cirkel c2. Cirkel c2 ligt geheel buiten cirkel c1. Het verbindingslijnstuk M1M2 snijdt c1 in punt A en c2 in punt B. Zie onderstaande figuur. De lengte van lijnstuk AB is gelijk aan d. In de figuur is ook nog een derde cirkel c3 getekend, met middelpunt D en straal d.
       
 

       
  We plaatsen c3 zo, dat hij c1 en c2 raakt. De raakpunten noemen we E en C.
Dan ligt punt E op M1D en punt C op M2D. Zie onderstaande figuur.
       
 

       
  Vierhoek ABDE is een koordenvierhoek.
       
  a. Toon dit aan.  
       
  b. Bewijs dat de vijf punten A, B, C, D en E op één cirkel liggen.
       
15. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2006
       
  Gegeven zijn twee driehoeken ABC en BDE met ∠ACB = ∠BDE.
De omgeschreven cirkels van deze driehoeken snijden elkaar in de punten B en S.
Zie de figuur hiernaast.

Bewijs dat S op de lijn AE ligt.

       
16. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2007.
       
  De hoekpunten van vierhoek ABCD liggen op een cirkel. AB is groter dan CD en AD is groter dan BC . De lijnen AD en BC snijden elkaar in P . Verder is gegeven dat AB = BP .
Stel ∠BAD = α . Zie de figuur hiernaast.

Er geldt  DC = DP.

     
  a. Toon dit aan
       
  Nu is bovendien gegeven dat AD een middellijn is van de cirkel; het middelpunt M van de cirkel ligt dus op AD. Het punt S is het snijpunt van AC en BD. Zie de figuur hiernaast.

     
  b. Bewijs dat  ∠ASD = 3α
       
17. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2009.

Gegeven is driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel. Aan weerskanten van C liggen de punten K en L op de omgeschreven cirkel zo dat CK = CL . De koorde KL snijdt de zijden AC en BC in P en Q.
Zie onderstaande figuur.

       
 

       
  Er geldt: ∠BAC = ∠QCL +∠CLK .
       
  a. Toon dat aan.  
       
  b. Bewijs dat vierhoek ABQP een koordenvierhoek is.
       
18. CP is de hoogtelijn van een rechthoekige driehoek ABC met rechte hoek C.
De cirkel met middellijn AP snijdt CA in Q
De cirkel met middellijn PB snijdt CB in R

Toon aan dat AQRB een koordenvierhoek is.
       
19. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2010.

Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen k en m en een punt A er tussenin. Zie de volgende figuur.
       
 

       
  Je kunt op elk van de twee gegeven lijnen een punt tekenen zo dat deze punten samen met punt A de hoekpunten zijn van een rechthoekige, gelijkbenige driehoek. Een dergelijke driehoek noemen we een geodriehoek. Er zijn verschillende gevallen mogelijk. In deze opgave bekijken we de situatie waarbij het hoekpunt van de rechte hoek van de geodriehoek rechts van punt A op k ligt. Hieronder staat eerst een constructie. Daarna wordt aan je gevraagd te bewijzen dat het resultaat inderdaad een geodriehoek is.

Op k zijn de punten B en C getekend zo dat AB ^ BC en AB = BC . Punt D is op m getekend zo dat DC ⊥ AC . Op k is vervolgens punt E getekend zo dat ∠ADE = 45° . Zie de volgende figuur.
       
 

       
  Er geldt: vierhoek ACED is een koordenvierhoek.
       
  a. Bewijs dit.  
       
  b. Bewijs dat driehoek AED een geodriehoek is.
       
20. Op de zijden van driehoek ABC worden drie gelijkzijdige driehoeken ADC, AEB en CFB getekend.

Toon aan dat de omgeschreven cirkels van die driehoeken elkaar in één punt S snijden.
       
21. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2012.

Gegeven is een cirkel met middelpunt M en een middellijn AB. k is de raaklijn aan de cirkel in punt B.
Op de cirkel liggen twee punten P en Q zodanig dat P en Q beide aan dezelfde kant van AB liggen én dat Q op de kleinste boog tussen B en P ligt.
De snijpunten van de lijnen AP en AQ met k zijn respectievelijk P' en Q' .
       
 

       
  Er geldt:  ∠ABP =  ∠AP' B
       
  a. Bewijs dit.  
       
  b. Bewijs dat P, Q, Q' en P' op één cirkel liggen.
       
       
22. In een cirkel met middellijn CD is een driehoek ABC getekend waarvan hoek A gelijk is aan 20º

Bereken hoek BCD.

 

     

70º
23. Twee bissectrices AD en BE van driehoek ABC snijden
elkaar in S.

Het blijkt dat de punten E, S, D en C op een cirkel liggen.

Bereken ∠C

       
24. Twee cirkels snijden elkaar in de punten P en Q.
M is het middelpunt van de ene cirkel.
MP snijdt de tweede cirkel in A, MQ snijdt de tweede cirkel in B.

Toon aan dat  PA = QB

       
25. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2014
       
  Gegeven zijn een cirkel met middelpunt M en een lijnstuk AB buiten de cirkel. De lijn door A en B snijdt de cirkel niet.

Punten P en Q worden zodanig op de cirkel gekozen dat aan de volgende voorwaarden is voldaan:
-  koorde PQ is evenwijdig aan lijnstuk AB;
-  lijnstuk AQ snijdt de cirkel in R;
-  lijnstuk BP snijdt de cirkel in S;
-  AQ snijdt BP binnen de cirkel.

Zie de figuur hienaast.

Bewijs dat ABSR een koordenvierhoek is.

       
26. Vanuit punt A op een cirkel worden vier lijnstukken AB, AC, AD en AE getrokken zodat C, D en E ook op de cirkel liggen.

Het blijkt dat driehoek ADB gelijkbenig is met tophoek D

Toon aan dat dan geldt  ∠ADE = ∠ABD

   
27. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2014
       
  Gegeven is een cirkel met een koordenvierhoek ABCD met diagonalen AC en BD. Diagonaal BD verdeelt hoek ADC in twee gelijke hoeken. Zie de figuur hiernaast.

Voor deze koordenvierhoek geldt: AB en BC zijn even lang.

     
  a. Toon dat aan.
       
  In de figuur hiernaast, is opnieuw een cirkel getekend met een koordenvierhoek ABCD.
Er geldt nu:
-  diagonaal BD verdeelt hoek ADC in twee gelijke hoeken;
-  diagonaal AC verdeelt hoek BAD in twee gelijke hoeken.
De diagonalen snijden elkaar in het punt E.
De lijn door B en het middelpunt M van de cirkel snijdt diagonaal AC in het punt F. De lijn door C en M snijdt diagonaal BD in het punt G.

     
  b. Bewijs dat de punten E, F, M en G op één cirkel liggen.
       
28. Een beroemd probleem van van Schooten voor Huygens.
De volgende opgave is een probleem dat de Nederlandse wiskundige Frans van Schooten voorlegde aan zijn leerling Christiaan Huygens  (in 1648).
  In een willekeurige driehoek ABC worden twee willekeurige punten D en E op respectievelijk CB en AC gekozen.

De vraag was:  Hoe construeer je punt P op AB zodat geldt dat de rode  hoeken in de figuur hiernaast gelijk zijn?

       
  Spiegel de hele driehoek in AB en snijdt de verlengden van CA en BC'  met elkaar in punt F.
       
 

       
  a. Toon aan dat  FD'PE een koordenvierhoek is.
       
  b. Leg uit hoe punt P te construeren is.
       
29. examenvraagstuk VWO wiskunde B, 2015.

Gegeven zijn cirkel c met middelpunt M en cirkel d met middelpunt N. Lijn k gaat door M en raakt d in punt A. Lijn l gaat door N en raakt c in punt B. De punten A en B liggen aan dezelfde kant van MN. Punt S is het snijpunt van k en l. De lijnen MB en NA snijden elkaar in punt C.  De lijn door C en S snijdt lijnstuk MN in punt D. Zie de figuur.
       
 

       
  Bewijs dat geldt:  ∠ACS = ∠NMS
       
30. a. Gegeven is een scherphoekige driehoek ABC. M is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC. Zie de figuur.

Er geldt:  ∠CBM = 90º - ∠CAB.

Bewijs dit.

       
  b. In de driehoek van deze figuur maken we nu als volgt een vierhoek. Kies een punt N op lijnstuk MB. De loodlijn in N op MB snijdt de lijnstukken AB en BC in respectievelijk punt P en punt Q. Zie de figuur.

Bewijs dat APQC een koordenvierhoek is. 

       
31. De zijden AB en DC van een koordenvierhoek ABCD snijden elkaar in Q
De zijden CB en DA van die koordenvierhoek snijden elkaar in P

Toon aan dat de bissectrices van de hoeken bij P en Q loodrecht op elkaar staan. Dus dat α hiernaast gelijk is aan 90º

       
32.

       
  PQRS is een koordenvierhoek.
De tegenoverliggende zijden daarvan snijden elkaar in A en B.

De omgeschreven cirkels van de driehoeken APS en BSR snijden elkaar in C.

Toon aan dat C op lijnstuk AB ligt.
       
33. (vervolg van opgave 32)

ABCD is een koordenvierhoek.
De tegenoverliggende zijden daarvan snijden elkaar in P en Q.

Toon aan dat de bissectrices van  ∠AQD en ∠APB loodrecht op elkaar staan.
 

       
34. (vervolg van opgave 8)

Van koordenvierhoek ABCD staan de diagonalen loodrecht op elkaar.

PQ gaat door het snijpunt S van de diagonalen, en staat loodrecht op DC.

Toon aan dat Q het midden van AB is.

       
35. Twee cirkels snijden elkaar in P en Q.
AB is een willekeurige koorde van de eerste cirkel (A en B zijn niet gelijk aan P of Q)
BP snijdt de tweede cirkel in D
AQ snijdt de tweede cirkel in C
     
  a.  Toon aan dat  AB // CD
     
  b. Toon aan dat PD = QC
       
36. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2016-II.
       
 

Gegeven is driehoek ABC. Verder is gegeven een cirkel, zo dat

-  de cirkel zijde AB in punt D raakt;
-  de cirkel zijde BC in twee punten E en F snijdt;
-  zijde DE evenwijdig aan zijde AC is.

Zie de figuur.
       
 

       
  Bewijs dat vierhoek ADFC een koordenvierhoek is.
       
37. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2017-II.
       
  Gegeven is een scherphoekige driehoek ABC waarin de middelloodlijn van AB zijde BC snijdt. De cirkel door de punten A, B en C heeft als middelpunt M. De middelloodlijn van AB gaat dus door M. Deze middelloodlijn snijdt AB in punt R en BC in punt S. Zie de figuur.
In de figuur is ook vierhoek AMSC aangegeven.
       
 

       
  Bewijs dat vierhoek AMSC een koordenvierhoek is.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)