Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Om er voor te zorgen dat de juiste hoeveelheid zaaizaad wordt verzaaid dient men tijdens het zaaien van uien goed op het zogeheten duizendkorrelgewicht te letten. Dit gewicht staat op de zakken vermeld en kan nogal verschillen.

Een uienteler stelt zijn zaaimachine op een bepaald duizendkorrelgewicht af. Maar als het gewicht te veel afwijkt van die afstelling van de machine dan kan dat fouten opleveren.
Een ondergewicht van meer dan 1,2 gram kan missers veroorzaken door een hoog percentage dubbele zaden op de zaaischijven. Echter een overgewicht van meer dan 0,7 gram kan missers veroorzaken op de zaaischijven door een te klein aantal zaden.

Het is dus belangrijk bij de start van het zaaien even het duizendkorrelgewicht te controleren, voor een perfecte verdeling van het zaaizaad, en dus een optimale start van de uienteelt!
Een leverancier van zaaizaad voor uien vermeldt dat het duizendkorrelgewicht normaal verdeeld is met een gemiddelde van 4,8 gram en een standaarddeviatie van 0,4 gram, dus een uienteler stelt zijn zaaimachine af op 4,8 gram.

Hoeveel procent missers zal hij krijgen?

4,14%

Op welk gewicht kan hij zijn machine het best afstellen om zo min mogelijk missers te krijgen?

5,05

Volgens één van de vuistregels ligt bij een normale verdeling 68% van de waarnemingen binnen één standaardafwijking van het gemiddelde.
Formuleer een vuistregel die zegt dat bij een normale verdeling 50% van de waarnemingen binnen .... keer de standaardafwijking van het gemiddelde ligt.

0,67 keer

De euromunten die door de Nederlandse Munt worden gemaakt moeten voldoen aan strenge voorwaarden wat betreft hun afmetingen en gewicht. In de figuur hieronder zie je alle munten met daaronder hun diameter, hun dikte en hun gewicht.

Deze aangegeven maten moeten in alle eurolanden binnen nauwkeurige toleranties blijven. Zo mag bijvoorbeeld het gewicht van de 1-euromunt maximaal 0,10 gram afwijken van de opgegeven 7,50 gram. De Nederlandse Munt controleert daarom van elke dagproductie of de afmetingen en gewichten van de gemaakte munten kloppen.
Neem aan dat het gewicht van de gemaakte 1-euromunten normaal verdeeld is met een gemiddelde van 7,50 gram en een standaarddeviatie van 0,04 gram.

De totale dagproductie is 20000 munten. Hoeveel van deze munten zullen moeten worden afgekeurd?

248

Men wil graag dat slechts 0,5% afgekeurd wordt.
Dat kan door een machine met een kleinere standaarddeviatie te nemen.

Hoe klein moet die standaarddeviatie worden om die 0,5% te bereiken?

0,0356 g

In de figuur hieronder zie je de zogenaamde "groeikrommen" van kinderen in hun eerste levensjaar. Het gewicht van de baby's is op elk moment normaal verdeeld, maar uiteraard veranderen tijdens hun eerste jaar het gemiddelde en de standaarddeviatie.
G₅₀ geeft het gewicht waarvoor geldt dat 50% van de baby's op een bepaald moment lichter is. Hetzelfde geldt voor G₁₀ en G₉₀ (maar dan 10% en 90% uiteraard).

Hoe blijkt uit de figuur dat de standaarddeviatie in de loop de weken steeds groter wordt?

Bereken de standaarddeviatie voor het gewicht van baby's van 21 weken oud.

≈ 0,9

Teken in deze figuur de kromme G₉₅.

Hoeveel procent van de baby's van 36 weken oud is lichter dan 8 kg?

≈33%

examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1992.

Om aan te geven hoe druk het is op een weg gebruikt men het begrip verkeersintensiteit. Die intensiteit (I) wordt gegeven als een percentage van het maximale aantal auto's dat een weg per uur kan verwerken. Is er geen verkeer dan is de verkeersintensiteit 0.
Bij een lage verkeersintensiteit (het is rustig op de weg) is er veel variatie in de snelheden van de auto's. Naarmate de intensiteit toeneemt moet de automobilist zijn snelheid meer aanpassen aan het overige verkeer.
Bij weinig verkeer (I = 5) lijkt de verdeling van de snelheden op de normale verdeling. Zie de volgende figuur.

Neem aan dat de snelheden normaal verdeeld zijn met een gemiddelde van 56 km/uur en een standaardafwijking van 13 km/uur. Op deze weg mag maximaal 70 km/uur gereden worden.

Bereken hoeveel procent van de auto's te hard rijdt.

In de figuur hieronder is voor een bepaald type weg bij een aantal verschillende verkeersintensiteiten (I ) de verdeling van de snelheden (V) getekend. Die verdeling lijkt steeds sterk op een normale verdeling.

Als de verkeersintensiteit (I ) toeneemt, verandert ook:
1. de spreiding van de snelheden.
2. de gemiddelde snelheid.
3. het percentage voertuigen dat ongeveer de gemiddelde snelheid rijdt.

Geef voor elk van deze drie veranderingen aan of er dan sprake is van een toename.

In de figuur is een rechte lijn getekend die het verband tussen I en de gemiddelde rijsnelheid V_gemiddeld aangeeft.

Stel een formule op de V_gemiddeld uitdrukt in I

Bekijk in de figuur de snelheidsverdeling bij I = 30. Neem aan dat deze snelheden normaal verdeeld zijn met een standaardafwijking van 7 km/uur.
We zeggen dat een auto zeer snel rijdt als zijn snelheid hoort bij de 10% hoogste snelheden en zeer langzaam als zijn snelheid hoort bij de 10% laagste snelheden.

Bereken tussen welke grenzen de snelheden liggen van de auto's die niet zeer snel of zeer langzaam rijden.

Hieronder zie je twee boxplots.
Eén van die twee boxplots hoort bij een normale verdeling.
Bereken de standaarddeviatie van die normale verdeling.

examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1997

Er is onderzoek gedaan naar de lichaamslengte van jongens van 3 tot en met 20 jaar. Voor elke leeftijd werd de lengte van een groot aantal jongens gemeten. In de volgende figuur staan de resultaten van het onderzoek.

Voor elke leeftijdsgroep werden P₃, P₁₀, P₅₀, P₉₀ en P₉₇ bepaald.
De drie-percentiel (P₃) van een groep is de lengte L waarvoor geldt dat 3% van de jongens van die groep kleiner is dan L. Zo kun je ook P₁₀, P₅₀, P₉₀ en P₉₇ omschrijven.
Een voorbeeld: voor jongens van 9 jaar geldt P₉₀ = 144 cm (zie de figuur) Dat betekent dat 90% van de 9-jarige jongens kleiner is dan 144 cm.

Stel dat voor elke leeftijd de lengte van de jongens normaal verdeeld is. Dan is uit bovenstaande figuur af te leiden dat de standaardafwijking van de lengte niet voor elke leeftijd even groot is.

Voor welke leeftijd is de standaardafwijking het grootst? Licht je antwoord toe.

Voor 18-jarige jongens geldt dat de gemiddelde lengte 181 cm is en de standaardafwijking 6,7 cm. Stel dat voor 18-jarige jongens de lengte normaal verdeeld is.

Bereken P₉₇ voor 18-jarige jongens en controleer of dit in overeenstemming is met de figuur.

Bij iedere leeftijd zullen gemiddelde lengte en standaardafwijking anders zijn. Stel dat voor 21-jarige jongens geldt dat hun lengte normaal verdeeld is en dat P₁₀ = 174 cm en P₉₀ = 190 cm.

Bereken de standaardafwijking van de lengte van de 21-jarige jongens.

examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1998.

Een fabrikant maakt tennisballen (zie foto). Deze fabrikant wil dat zijn product bij competitiewedstrijden en op toernooien gebruikt mag worden.

De Koninklijke Nederlandse Lawn Tennis Bond (KNLTB) stelt aan ballen die daarvoor gebruikt mogen worden de volgende eis: "Het gewicht van de bal dient te liggen tussen 56,7 en 58,5 gram".

Het gewicht van de tennisballen van de fabrikant is normaal verdeeld met een gemiddelde van 57,6 gram en een standaardafwijking van 0,44 gram.

Laat zien dat ongeveer 96% van deze tennisballen aan de eis voldoet.

Verder stelt de KNLTB nog een eis aan de zogenaamde stuithoogte van de bal. In de KNLTB-reglementen staat:
"De bal wordt losgelaten op een hoogte van 254 cm boven een betonnen vloer. De stuithoogte van de bal dient groter te zijn dan 135 cm en kleiner dan 147 cm. De stuithoogte te meten vanaf het vloeroppervlak tot onderkant bal".

De fabrikant heeft zelf vastgesteld dat 94% van zijn tennisballen voldoet aan deze tweede eis. Daarbij is ook gebleken dat de stuithoogte normaal verdeeld is met een gemiddelde van 141 cm.

Bereken de standaardafwijking van de stuithoogte van deze ballen.

We nemen aan dat het gewicht van een bal geen invloed heeft op de stuithoogte.

Hoeveel procent van de door deze fabrikant gemaakte tennisballen zal aan beide eisen van de KNLTB voldoen? Licht je antwoord toe.

examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 1999

Bij het bouwen van wegen, bruggen en gebouwen worden grote hoeveelheden beton gebruikt. Om de stevigheid van dat beton te keuren, voert men drukproeven uit. Daartoe maakt men uit een partij beton een aantal kubussen. Deze kubussen worden een voor een onder een pers gezet. De druk op de kubus wordt geleidelijk opgevoerd, net zolang totdat de kubus begint te vervormen. Zie onderstaande figuur. De grootste druk voordat het vervormen begint noemt men de druksterkte. Deze wordt uitgedrukt in Newton per vierkant millimeter (N/mm²). Een druksterkte van ten minste 25 N/mm² noemt men voldoende groot.

Een aannemer gebruikt beton waarvan de kubussen een gemiddelde druksterkte hebben van 28 N/mm². Er wordt aangenomen dat deze druksterkte normaal verdeeld is met een standaardafwijking van 2,6 N/mm²

Bereken welk percentage van zijn kubussen een voldoende grote druksterkte zal hebben.

Het is gewenst dat minstens 95% van de kubussen een voldoende grote druksterkte heeft. Anders zou het risico van afkeuren te groot zijn. Door het productieproces zorgvuldiger uit te voeren blijft de druksterkte normaal verdeeld met gemiddelde 28 N/mm² , maar wordt de standaardafwijking kleiner.
Nu blijkt dat 95% van de kubussen een voldoende grote druksterkte heeft.

Bereken de nieuwe standaardafwijking van de druksterkte.

10.

examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1999.

Wij kijken in deze opgave naar het verband tussen voeding en de levensduur van muizen. Daarbij vergelijken we muizen die van jongs af aan een gewoon dieet krijgen met muizen die van jongs af aan een caloriearm dieet krijgen. Een caloriearm dieet bevat slechts de helft van het aantal calorieën van het gewone dieet.
Bij muizen die gevoed worden volgens een gewoon dieet is de levensduur bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 33 maanden en een standaarddeviatie van 2,7 maanden.

Bereken hoeveel procent van deze muizen de leeftijd van 36 maanden bereikt.

Muizen met het caloriearme dieet hebben een gemiddelde levensduur van 45 maanden. Dit hogere gemiddelde wijst er al op dat het caloriearme dieet het verouderingsproces vertraagt. Behalve op de gemiddelde levensduur letten we ook op de 'maximale' levensduur in elke groep muizen; daarmee wordt de levensduur bedoeld die door slechts 0,1% van de muizen overschreden wordt. Bij muizen met het caloriearme dieet is deze 'maximale' levensduur 51,5 maanden.

Neem aan dat ook bij muizen met het caloriearme dieet de levensduur normaal verdeeld is.

Toon aan dat de levensduur van muizen met het caloriearme dieet een standaarddeviatie van 2,1 maanden heeft.

Ook wat de 'maximale' levensduur betreft is er een aanzienlijk verschil tussen beide groepen muizen. Van de muizen met het caloriearme dieet leeft een groot percentage langer dan de 'maximale' levensduur van muizen met het gewone dieet.

Bereken dit percentage.

11.

examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2001.

Marcel staat met zijn kaaskraam zes dagen in de week op verschillende markten in Nederland. Natuurlijk verkoopt hij niet elke dag dezelfde hoeveelheid kaas. We gaan er van uit dat de hoeveelheid kaas die hij per dag kan verkopen bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 300 kilo en een standaardafwijking van 30 kilo.

Het is slecht voor zijn zaken als de kaas op een gegeven moment op is, terwijl er nog wel klanten zijn. Hij wil dat voorkomen door elke dag ruim voldoende kaas mee te nemen. Maar onbeperkt kaas meenemen kan natuurlijk niet.

Bereken hoeveel kilo kaas Marcel mee moet nemen om er voor te zorgen dat hij op 95% van alle dagen voldoende bij zich heeft.

12.

examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2002.

Uit de wielersport komen de laatste jaren regelmatig berichten over dopinggebruik. Wielrenners lijken steeds vaker naar verboden middelen te grijpen om hun prestaties te verhogen. Een van de meest genoemde stoffen is erytropoëtine, kortweg EPO. Dit middel bevordert de aanmaak van rode bloedlichaampjes, waardoor de zuurstoftransportfunctie van het bloed wordt vergroot. Je gaat hierdoor beter presteren.
De hematocrietwaarde is de hoeveelheid rode bloedlichaampjes als percentage van de totale hoeveelheid bloed. Die hematocrietwaarde stijgt dus als een wielrenner EPO gaat gebruiken.

Voor wielrenners die geen EPO gebruiken geldt: de hematocrietwaarde is normaal verdeeld met een gemiddelde van 45 en een standaardafwijking van 2,7.

Hoeveel procent van de wielrenners die geen EPO gebruiken heeft een hematocrietwaarde die hoger is dan 46? Licht je antwoord toe.

Het gebruik van EPO is lastig aan te tonen, maar de hematocrietwaarde kan wel worden gemeten. Iedere wielrenner met een te hoge hematocrietwaarde krijgt een startverbod opgelegd. De UCI, de internationale wielerbond, hanteert een grens van 50. Volgens de UCI is er voor een wielrenner met een hematocrietwaarde boven die grens een gezondheidsrisico wanneer hij aan wedstrijden deelneemt. Een te hoge hematocrietwaarde is geen bewijs voor EPO-gebruik, want sommigen hebben van nature een hoge hematocrietwaarde en zijn dus 'onschuldig'.
Volgens sommigen is die grens van 50 te streng. Er zouden dan teveel onschuldige wielrenners worden gestraft met een startverbod. Deze critici stellen voor de grens te veranderen. Van de wielrenners die geen EPO gebruiken zal dan 1% een startverbod krijgen wegens een te hoge hematocrietwaarde.

Hoe groot zou die nieuwe grens moeten zijn? Licht je antwoord toe.

13.

examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2004

In Brazilië vind je op plaatsen waar veel mensen snel willen eten restaurants van het type 'buffet per kilo'. Bij zo'n restaurant schep je zelf je bord vol aan een buffet. Je neemt waar je zin in hebt.
Bij de kassa staat een weegschaal Daar zet je het bord op. De weegschaal meet dan het totale gewicht.
Van dit totale gewicht trekt de weegschaal het gewicht van het bord af. Je betaalt alleen voor het eten dat op je bord ligt. Het maakt dus niet uit of je je bord vol schept met vlees of met salade. Dit systeem werkt simpel en snel. Het eten in zo'n restaurant is meestal goedkoop en goed.
De borden hebben niet allen hetzelfde gewicht. Het gewicht van deze borden is normaal verdeeld met een gemiddelde van 645 gram en een standaardafwijking van 43 gram.

Hoeveel procent van de borden heeft een gewicht groter dan 700 gram? Licht je antwoord toe.

10%

Voor de restauranthouder is het natuurlijk het meest eerlijk als de weegschaal het gemiddelde gewicht van de borden van het totale gewicht aftrekt. Dat heeft als nadeel dat de helft van de klanten teveel betaalt: hun bord is zwaarder dan het gemiddelde gewicht van de borden. Zoveel ontevreden klanten wil de eigenaar niet hebben.
De eigenaar wil dat slechts 15% van de nieuwe borden zwaarder is dan het gewicht dat de weegschaal aftrekt.

Bereken hoeveel gram de weegschaal dan moet aftrekken van het totale gewicht. Geef je antwoord als een geheel getal.

690

14.

examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2005

IJsproducent Häagen Dazs produceert 2,94 miljoen bekertjes roomijs.
De hoeveelheid ijs die in de bekertjes gedaan wordt is bij benadering normaal verdeeld. Op zo'n bekertje staat dat het 125 ml ijs bevat. In werkelijkheid zal dat zelden precies 125 ml zijn.
Häagen Dazs stelt het vulgemiddelde van de vulmachine in op 129,8 ml, zodat er gemiddeld 129,8 ml ijs in de bekertjes terechtkomt.
De standaardafwijking van de hoeveelheid ijs die in de bekertjes terechtkomt is 2,2 ml.

Bereken hoeveel bekertjes er naar verwachting tussen 124 en 126 ml ijs bevatten.
Geef je antwoord in duizenden bekertjes nauwkeurig.

111000

Als Häagen Dazs het vulgemiddelde zou instellen op 125 ml, dan zou de helft van de bekertjes minder dan 125 ml ijs bevatten. De overheid eist echter dat hooguit 5% van de bekertjes minder dan 125 ml ijs bevat.

Toon aan dat Häagen Dazs met zijn instelling van de vulmachine aan de eis van de overheid voldoet.

1,456%

Häagen Dazs kan zijn vulgemiddelde lager instellen en toch aan de eis van de overheid blijven voldoen. Bij elk lager vulgemiddelde blijft de standaardafwijking 2,2 ml. Het instellen van zo'n lager vulgemiddelde levert bij 2,94 miljoen bekertjes een aardige besparing op aan de hoeveelheid roomijs die men moet produceren. De productiekosten van het roomijs bedragen 0,73 euro per liter.

Bereken hoeveel euro Häagen Dazs maximaal kan besparen.

2535 euro

15.

Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2006.

Er bestaan diverse soorten platvissen, bijvoorbeeld schollen en tongen. In de afbeelding hiernaast zie je een schol.

De lengte van 8 jaar oude, vrouwelijke schollen is bij benadering normaal verdeeld. De gemiddelde lengte is 30,8 cm en de standaardafwijking is 4,6 cm.

Bereken hoeveel procent van deze 8 jaar oude vrouwtjesschollen langer is dan 33 cm.

31,62%

De lengte van de mannetjesschollen van 8 jaar oud is ook bij benadering normaal verdeeld. Ze hebben een gemiddelde lengte van 27,4 cm. Deze mannetjesschollen zijn kleiner dan de 8 jaar oude vrouwtjesschollen. Slechts 5% van deze mannetjes is langer dan 33 cm.

Bereken de standaardafwijking van de lengte van de 8 jaar oude mannetjesschollen. Rond je antwoord af op 1 decimaal.

3,4

16.

Voor de TV-serie ´So You Think You Can Dance´ wil een groot aantal kandidaten auditie komen doen. Met een inschrijfformulier kan men zich aanmelden.
Omdat tijdens de uiteindelijke shows er willekeurige man-vrouw danskoppels gemaakt worden, waarbij tijdens de dans de man vaak de vrouw moet optillen, mogen de vrouwen niet te zwaar zijn, en de mannen niet te licht.
Er melden zich 1250 vrouwen aan en 840 mannen.
Het gewicht van de mannen is normaal verdeeld met een gemiddelde van 78 kg en een standaarddeviatie van 12 kg. Het gewicht van de vrouwen is normaal verdeeld met een gemiddelde van 62 kg en een standaarddeviatie van 9 kg.

Men is eerst van plan vrouwen die zwaarder dan 70 kg zijn en mannen die lichter dan 75 kg zijn af te wijzen

Hoeveel kandidaten zullen dan worden toegelaten?

1519

Hoe moet de voorwaarde voor het gewicht van de mannen veranderen als men graag wil dat 60% van de mannen wordt toegelaten?

74,96 kg

Daarna besluit men deze voorwaarden te versoepelen. Men gaat een grensgewicht G kiezen waaronder de mannen worden afgewezen en waarboven de vrouwen worden afgewezen.

Hoe moet men G kiezen als men graag evenveel mannen als vrouwen wil toelaten?

64,54 kg

17.

Examenopgave HAVO Wiskunde B, 2000

Bij de teelt van winterpeen worden in Nederland bestrijdingsmiddelen toegepast.
Om zicht te krijgen op de belasting van het milieu worden de telers van winterpeen ingedeeld in twee groepen

I: de groep die chemische bestrijdingsmiddelen gebruikt.
II: de groep die geen chemische bestrijdingsmiddelen gebruikt: tot deze groep behoren de telers die milieuvriendelijke bestrijdingsmiddelen gebruiken.

Neem aan dat in 1995 voor groep I de toegepaste hoeveelheid chemisch bestrijdingsmiddel per hectare normaal verdeeld is met een gemiddelde van 5,2 kg en een standaardafwijking van 0,7 kg.

Bereken voor 1995 op hoeveel procent van de grondoppervlakte van de telers in groep I meer dan 5,5 kg bestrijdingsmiddel per hectare werd gebruikt.

33%

Een actiegroep vindt dat in 1995 op 25% van de grondoppervlakte van de telers in groep I een te grote dosis chemische bestrijdingsmiddelen is toegepast.

Bereken de maximale dosis per hectare die de actiegroep nog acceptabel vindt.

5,7 kg

De actiegroep neemt aan dat in het jaar 2000 het gebruik van chemische bestrijdingsmiddelen als volgt zal zijn:

op 15% van de totale grondoppervlakte voor winterpeen teelt men zonder chemische bestrijdingsmiddelen.
op de overige grond is de toegepaste hoeveelheid chemische bestrijdingsmiddelen normaal verdeeld met een gemiddelde van 4,2 kg en een standaardafwijking van 0,6 kg.

Bij deze twee aannames maakt de actiegroep voor het jaar 2000 een tabel van het verwachte gebruik van bestrijdingsmiddelen bij de teelt van winterpeen. Zie tabel 1 met klassenindeling.
Twee percentages zijn al ingevuld.

TABEL 1
hoeveelheid chemisch bestrijdingmiddel (kg/ha)	van 0 tot en met 3	van 3 tot en met 4	van 4 tot en met 5	meer dan 5
percentage van de totale grondoppervlakte voor winterpeen			46	8

Bereken de twee percentages die nog niet in de tabel staan. Licht je werkwijze toe.

17% en 29%

18.

Examenopgave HAVO Wiskunde B, 2002

Baby's wegen bij de geboorte gemiddeld 3250 gram. Het geboortegewicht is bij benadering normaal verdeeld met een standaardafwijking van 425 gram.

Volgens babyinfo.nl weegt een baby bij geboorte meestal zo'n 3000 tot 3500 gram.

Onderzoek of deze bewering van babyinfo.nl juist is.

Volgens Dr. Miriam Stoppard, schrijfster van o.a. het boek Baby, heeft ongeveer 4 procent van de baby's een laag geboortegewicht.

Bereken, uitgaande van het bovengenoemde gemiddelde en standaardafwijking, onder welk gewicht een baby volgens Dr. Stoppard een laag geboortegewicht heeft.

De figuur hiernaast is een illustratie uit Lijfboek van het kind en is gebaseerd op cijfermateriaal van ruim 25 jaar geleden. De figuur laat de verdelingen zien van het geboortegewicht van jongens en meisjes.
Neem aan dat de groep baby's waarop het cijfermateriaal betrekking heeft bestaat uit evenveel jongens als meisjes. Ook van die hele groep baby's kan de verdeling van het geboortegewicht getekend worden.

Teken die grafiek.

19.

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2005

In het jaar 2000 is in meer dan 30 landen een onderzoek gedaan naar de leesvaardigheid van 15- en 16-jarigen. Dit onderzoek heeft de naam PISA 2000.
In de figuur hiernaast zijn de resultaten van de vier best presterende landen weergegeven.
Neem aan dat voor ieder land de scores normaal verdeeld zijn met de gemiddeldes die in de figuur hiernaast staan.

Van de Nederlandse leerlingen had 44% een score die hoger lag dan de gemiddelde score van Finland.

Bereken met behulp van deze gegevens de standaardafwijking van de score van de Nederlandse leerlingen. Rond af op een geheel getal.

De score waar 95% van alle leerlingen onder blijft heet P95.
Ieder land heeft zijn eigen P95.
In de figuur hieronder vergelijken we de scores van Finland en Nieuw Zeeland.

Het blijkt dat de P95 van Nieuw Zeeland iets hoger ligt dan de P95 van Finland.
De gemiddelde score van Nieuw Zeeland is 529 met een standaardafwijking van 108.
Voor Finland geldt: μ = 546 en σ = 89.

Bereken hoeveel procent van de scores uit Nieuwe Zeeland boven de P95 van Finland ligt.

6,5%

20.

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2006.

De zwangerschap van een tweeling duurt gemiddeld bijna 4 weken korter dan de zwangerschap van één kind. Een zwangerschap van een tweeling duurt gemiddeld 36,2 weken ofwel ongeveer 253 dagen. Neem aan dat de zwangerschapsduur van een tweeling normaal verdeeld is met een standaardafwijking van 12 dagen.

Als de zwangerschap van een tweeling minder dan 38 weken duurt dan noemt men de baby's prematuur.

Bereken het percentage tweelingen dat prematuur geboren wordt.

De zwangerschapsduur van een moeder bij één kind is gemiddeld 40 weken. Neem aan dat deze zwangerschapsduur normaal verdeeld is met een gemiddelde van 280 dagen. Verder is bekend dat 82% van alle bevallingen plaatsvindt in de periode vanaf dag 266 tot dag 294.

Toon met een berekening aan dat de standaardafwijking van deze normale verdeling kleiner is dan 12 dagen.

10,44

21.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2005.

In het "Moeders voor moeders babyboek" staat dat 75% van de zwangere vrouwen bevalt tussen 14 dagen vóór en 14 dagen na de uitgerekende datum. Bij het bepalen van deze uitgerekende datum gaat men uit van een zwangerschap van 40 weken, dus 280 dagen. De zwangerschapsduur is bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 280 dagen.
Met behulp van deze gegevens kun je berekenen dat de bijbehorende standaardafwijking, afgerond op één decimaal, gelijk is aan 12,2 dagen.

In 2002 vonden er in Nederland 199205 bevallingen plaats. Van een aantal van deze bevallingen duurde de zwangerschap minder dan 36 weken.

Bereken bij hoeveel bevallingen dit het geval was.

2164

De standaardafwijking kan nauwkeuriger bepaald worden.

Bereken deze standaardafwijking in twee decimalen nauwkeurig.

12,17

22.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2003.

Een transportonderneming brengt elke dag over een vast traject verse vlaaien van Limburg naar Twente. De tijd die daarvoor nodig is, is normaal verdeeld met een gemiddelde van 2,5 uur en een standaardafwijking van een kwartier. De vlaaien moeten om half negen afgeleverd zijn.
Enerzijds wil de directeur de loonkosten van de chauffeur beperken door hem niet te vroeg te laten vertrekken. Anderzijds kan de directeur zich niet permitteren om op meer dan 5% van de dagen de vlaaien te laat af te leveren.

Bereken, in minuten nauwkeurig, hoe laat de chauffeur moet vertrekken.

5:35

Op zijn dagelijkse ritten is het de chauffeur opgevallen dat er door veel automobilisten veel te hard gereden wordt op de stukken waar de maximumsnelheid van 120 km per uur geldt. Hij is er dan ook niet verbaasd over dat bij een controle blijkt dat 13% van de automobilisten harder rijdt dan 137 km per uur.
Neem aan dat de gereden snelheid normaal verdeeld is met een gemiddelde snelheid van 126 km per uur.

Bereken hoeveel procent van de automobilisten zich aan de maximumsnelheid houdt.

27%

23.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2006.

Wereldwijd bestaan bosbouwprojecten waarin geïnvesteerd kan worden. Er wordt elk jaar teakhout aangeplant dat na 20 jaar gekapt wordt. Om beleggers te interesseren wordt van verschillende projecten informatie gepubliceerd over de gemiddelde opbrengst in kubieke meter per hectare.

Bij European Trees is de gemiddelde opbrengst normaal verdeeld met verwachtingswaarde 800 m³/haen standaardafwijking 33 m³/ha.

Bereken de kans dat bij European Trees de gemiddelde opbrengst meer dan 10% afwijkt van de verwachtingswaarde van 800 m³/ha.

0,015

Bij Earthbound is de gemiddelde opbrengst ook normaal verdeeld. De verwachtingswaarde van de gemiddelde opbrengst is 950 m³/ha. De kans op een gemiddelde opbrengst van minder dan 98% van de verwachtingswaarde is slechts 0,01.

Bereken de standaardafwijking van de gemiddelde opbrengst voor Earthbound.

8,17

24.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2006.

's Zaterdags gaat Anneke altijd winkelen in de stad. Ze parkeert dan haar auto aan de rand van het centrum. De parkeermeter rekent daar met hele kwartieren en er moet vooraf betaald worden. Elk kwartier of een deel daarvan kost €0,30. Op grond van het lijstje met inkopen die ze wil doen maakt Anneke een schatting van de tijdsduur voor het parkeren. Door allerlei omstandigheden (onder andere bediening, drukte) is de werkelijke tijdsduur vaak anders.
We nemen aan dat de werkelijke tijdsduur bij benadering normaal verdeeld is, waarbij het gemiddelde gelijk is aan haar schatting; voor de standaardafwijking geldt het volgende: als de schatting t uren bedraagt dan is de standaardafwijking gelijk aan ¹/₆√t uur.

Op een zaterdag schat Anneke 2,5 uur nodig te hebben voor haar inkopen en doet dus €3,00 in de parkeermeter.

Bereken de kans dat achteraf - als ze terugkomt bij haar auto - zal blijken dat ze precies €0,30 minder in de parkeermeter had mogen doen.

0,1425

Door bij een schatting van 2,5 uur parkeren €3,00 in de parkeermeter te doen, loopt Anneke ook het risico dat ze te weinig betaalt.

Bereken hoeveel geld Anneke tenminste in de meter moet doen opdat ze minder dan 5% kans loopt dat ze te weinig betaalt.

3,60

25.

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2013.

In de oceanen leven tot een diepte van zo’n 100 meter lantaarnvisjes. Ze worden zo genoemd vanwege hun lichtuitstraling waarmee ze elkaar op grote diepte in het donker kunnen herkennen.

Bij een bepaalde soort lantaarnvisjes is de lengte van volwassen exemplaren bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 5,50 cm en een standaardafwijking van 0,45 cm.

Bereken hoe lang een volwassen lantaarnvisje dat bij de 10% langste volwassen lantaarnvisjes van deze soort hoort, minimaal is.

6,08 cm

Bereken hoeveel procent van de volwassen lantaarnvisjes van deze soort een lengte heeft die minder dan 20% afwijkt van de gemiddelde lengte.

98,55%

26.

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2013.

Halverwege het jaar 2010 werd besloten om de maximumsnelheid op de snelweg – waar dat mogelijk is – te verhogen van 120 naar 130 km per uur. Er kwam kritiek op het besluit. In de media werd gemeld dat bij een verhoging naar 130 km per uur automobilisten pas bij 139 km per uur een boete zouden krijgen.
De meetapparatuur van de verkeerspolitie kan de snelheid van een auto niet exact meten. Daarom wordt een foutmarge gehanteerd.

Stel dat een automobilist rijdt met een snelheid van v km per uur. De snelheid die dan gemeten wordt, is bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van v km per uur en een standaardafwijking van 0,0095 • v km per uur.

De kans dat iemand ten onrechte een boete krijgt waar een maximum van 130 km per uur geldt, moet heel klein zijn, namelijk maximaal 0,0001. Stel dat iemand 130 km per uur rijdt. De standaardafwijking van de gemeten snelheid is dan 1,235.

Bereken vanaf welke snelheid een boete gegeven wordt.

134,59

In werkelijkheid wordt op wegen met een maximumsnelheid van 130 km per uur de boete pas bij een gemeten snelheid van 139 km per uur gegeven.
Van 20 automobilisten die allemaal precies 138 km per uur rijden, waar de maximumsnelheid 130 km per uur is, wordt onafhankelijk van elkaar de snelheid gemeten.

Bereken hoeveel van hen naar verwachting een boete zullen krijgen.

27.

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2015.

Als in de winter gladheid of sneeuw wordt verwacht, strooit men zout op de wegen.
Een van de zoutsoorten die hiervoor wordt gebruikt is steenzout. Informatie over steenzout staat in de tabel.

	steenzout
zoutgehalte	95 tot 98%
gemiddelde korrelgrootte	1,75 mm
korrelgrootte van 80,0% van de korrels	1,0 - 2,5 mm

We nemen aan dat de korrelgrootte van steenzout bij benadering normaal verdeeld is. Je ziet in de tabel dat de korrelgrootte van de middelste 80,0% van de korrels tussen 1,0 en 2,5 mm is. Je kunt berekenen dat de standaardafwijking van de korrelgrootte ongeveer 0,59 mm is.

Bereken deze standaardafwijking in mm in drie decimalen nauwkeurig.

0,585

Steenzout bevat veel grote korrels, die bij het strooien gemakkelijk doorstuiteren naar de zijkanten van de weg. Het blijkt dat de 2% grootste steenzoutkorrels op deze manier bijna allemaal verloren gaan.

Bereken hoeveel mm de korrelgrootte van deze 2% grootste korrels minstens is.

2,95

28.

Ik heb zojuist een nieuwe weegschaal gekocht, en daarbij levert de fabrikant een tabelletje dat de nauwkeurigheid aangeeft. Dat ziet er zo uit:

afwijking	0,0 - 0,1 kg	0,1 - 0,2 kg	meer dan 0,2 kg
kans	50%	40%	10%

Neem aan dat de gewichten die de weegschaal aangeeft als gemiddelde het werkelijke gewicht hebben.
Laat zien dat uit de gegeven kansen dan blijkt dat de gewichten niet normaal verdeeld zijn.

29.

Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2016-II

Op een braderie zie je wel eens een glazen pot staan, helemaal gevuld met even grote knikkers. Tegen betaling van een bepaald bedrag mag je raden hoeveel knikkers er in de pot zitten. Degene die het aantal precies raadt of er het dichtst bij zit, wint een prijs.

Het vullen van een glazen pot met knikkers is een voorbeeld van random close packing. Bij random close packing wordt een hoeveelheid identieke voorwerpen willekeurig in een pot of bak gedaan, waarna er wordt geschud om de beschikbare ruimte zo goed mogelijk op te vullen.
Bij bolvormige voorwerpen, zoals knikkers, blijkt dat het gedeelte dat gevuld wordt altijd ongeveer even groot is. Het percentage gevulde ruimte is normaal verdeeld met een gemiddelde van 64,0. In 99,9% van de gevallen ligt het percentage gevulde ruimte tussen de 63,4 en 64,6.

Op grond van bovenstaande gegevens kun je berekenen dat de standaardafwijking van het percentage gevulde ruimte afgerond 0,2 is.

Bereken deze standaardafwijking in twee decimalen nauwkeurig.

0,18

Als je precies weet welk percentage van een pot gevuld is, kun je de volgende formule gebruiken om het aantal knikkers te berekenen: K = 0,0191 • p • I • d^-3

Hierin is p het percentage gevulde ruimte, I_pot de inhoud van de glazen pot in cm³ en d de diameter van de knikkers in cm.

Een glazen pot met een inhoud van 1050 cm³ is helemaal gevuld met knikkers met een diameter van 0,95 cm. Het percentage gevulde ruimte p is normaal verdeeld met gemiddelde 64,0 en standaardafwijking 0,2.
Met behulp van deze gegevens kunnen we nu de kans uitrekenen dat er 1500 of meer knikkers in de pot zitten.

Bereken deze kans.

0,263

30.

Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2017-I

Een distributieriem is een geribbelde riem die in een moderne verbrandingsmotor van een auto zit. Zo’n riem heeft ten opzichte van een ketting voordelen: hij maakt minder lawaai en er is geen smering nodig.
Een riem heeft als nadeel dat hij slijt en op een gegeven moment defect raakt.
Een defecte riem veroorzaakt veel schade aan de motor. Het is dus belangrijk om de distributieriem te vervangen voordat die defect raakt. Dit noemt men preventief vervangen.

De levensduur van een distributieriem is het aantal kilometers dat ermee gereden wordt tot de riem defect raakt. We gaan ervan uit dat de levensduur van distributieriemen normaal verdeeld is met een gemiddelde van 91000 km en een standaardafwijking van 10000 km.

Automonteurs adviseren om de riem bij 60000 km preventief te laten vervangen.

Bereken de kans dat een distributieriem al defect is vóór de preventieve vervanging bij 60000 km. Rond je antwoord af op vijf decimalen.

0,00097

Omdat deze kans zo klein is, wil een autobezitter de riem niet al bij 60000 km vervangen, maar pas na veel meer kilometers. Hij wil echter niet dat de kans op een defecte riem groter is dan 0,10.

Bereken het maximale aantal kilometers waarbij hij dan de riem preventief kan laten vervangen.

78184 km

31.

Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2017-II

Als een nieuw product wordt geïntroduceerd, wordt het meestal niet meteen massaal gekocht.
In de volgende figuur is weergegeven hoe de aanschaf van een nieuw product globaal verloopt. Langs de horizontale as staat het zogenoemde aanschafmoment, uitgedrukt in maanden na de introductie van het product op de markt. Het aanschafmoment van een product is het tijdstip waarop het product voor de eerste keer wordt aangeschaft.

In het begin is het percentage huishoudens dat dit product voor het eerst aanschaft laag. Daarna neemt het percentage toe. Op een zeker moment is dit percentage maximaal en daarna neemt het weer af.
In de figuur is te zien dat het aanschafmoment van een product bij benadering normaal verdeeld is. Daar is dus te zien dat 74 maanden na introductie 50% van de huishoudens dit product voor het eerst aangeschaft heeft.

Voor het product uit deze figuur geldt dat het aanschafmoment gemiddeld 74 maanden is met een standaardafwijking van 18 maanden.

Toon aan dat voor minder dan 1% van de huishoudens het aanschafmoment 24 maanden of minder is.

In 2001 introduceerden Douwe Egberts en Philips samen een nieuw koffiezetapparaat, de Senseo. We gaan ervan uit dat de aanschaf van deze Senseoapparaten in Nederland op een soortgelijke manier verloopt als hierboven is beschreven. Het aanschafmoment van dit apparaat is dus bij benadering normaal verdeeld.
In een artikel staat dat 52 maanden na de introductie van het Senseo-apparaat 45% van de huishoudens in Nederland zo’n apparaat voor de eerste keer heeft aangeschaft.
Na 54 maanden is dat zelfs 50%.

Toon aan dat de standaardafwijking van het aanschafmoment ongeveer 16 maanden is.

Het meest succesvolle jaar was het 5^e jaar na introductie van het apparaat. Toen schafte maar liefst (ongeveer) 29% van de Nederlandse huishoudens voor het eerst een Senseo-apparaat aan.

Bereken dit percentage in één decimaal nauwkeurig.

29,2%

32.

Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2017-I

De Vierdaagse van Nijmegen is een wandelevenement in juli dat ieder jaar heel wat uitvallers kent. Dat aantal uitvallers heeft vaak te maken met de temperatuur tijdens de Vierdaagse.

Regelmatig maakt het KNMI, voorafgaand aan een bepaald jaar, een kansmodel van de verdeling van de hoogste temperatuur in dat jaar. Deze kansmodellen worden gebaseerd op de gegevens (de hoogste temperaturen) uit de voorgaande jaren. Het KNMI gaat ervan uit dat het daarbij steeds om normale verdelingen gaat. Twee van dergelijke modellen zie je in de volgende figuur. Je kunt zien dat het model van 2006 ten opzichte van dat van 1980 sterk naar rechts is verschoven. In de figuur is te zien dat de kans op een hoogste temperatuur van, bijvoorbeeld, 35 °C of meer in 2006 fors groter is dan in 1980.

Bij de normale verdelingscurve van 2006 hoort μ = 33,5 en σ = 1,8.

Bereken voor 2006 op basis van het model van 2006 de kans op een hoogste temperatuur van 35 °C of meer.

0,2023

Voor 1980 was de kans op een hoogste temperatuur van 35 °C of meer veel kleiner. Die kans was slechts 0,01. De kans op een hoogste temperatuur van 31,0 °C of meer was toen 0,5.

Bereken de standaardafwijking voor het jaar 1980. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

1,72

Ook voor 1951 heeft het KNMI een normale verdelingscurve bepaald.
Voor die verdeling van 1951 geldt: μ = 29,8 en σ = 1,8.
In de figuur hieronder zijn, behalve de temperatuurverdelingen van 1980 en 2006, ook nog vier andere verdelingen A tot en met D getekend (blauw). Eén van deze vier hoort bij de verdeling van 1951.

Welke van de vier grafieken A tot en met D hoort bij 1951? Licht je antwoord toe.