© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
Hieronder staan 4 sinusoïden.
Geef bij elke grafiek een mogelijke formule met sinus, en ook eentje met cosinus.
       
 

       
Een sinusgrafiek heeft een maximum bij (2,4) en een minimum bij (5,-2)
Bereken het snijpunt met de y-as.

Geef twee verschillende mogelijkheden.
       
Gegeven zijn de volgende formules:  y1 = 3 - 2·sinx  en  y2 = 5·cosx - 1   en   y3 =  y1 + y2
Geef een formule voor y3 van de vorm  y3 = a + b·sin c(x - d)
       
Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2022-II
       
  De functies f en g worden gegeven door:

f(x) = 1 + 3sin(2x)
g(x) = 1 + 3cos(2x)

Het punt P is de eerste top van de grafiek van f rechts van de y-as en het punt R is de eerste top van de grafiek van g rechts van de y-as. Zie de figuur hiernaast, waarin ook het lijnstuk PR getekend is

       
  a. Bereken algebraïsch de lengte van lijnstuk PR. Geef je eindantwoord in twee decimalen
       
  De grafiek van de somfunctie h(x) = f(x) + g(x) blijkt ook een sinusoïde te zijn. Zie de figuur hiernaast.

Het functievoorschrift van h is te schrijven als:
h(x) = p + q • cos(r(x - s))

     
  b. Bereken mogelijke waarden van p, q, r en s. Geef je eindantwoorden, indien nodig, in twee decimalen.
       
In een ziekenhuis wordt onderzoek gedaan naar de longinhoud van patiënten en hun ademhaling. Na enig onderzoek blijkt dat de hoeveelheid lucht (L in dm3) die in de longen zit als functie van de tijd (t in sec) een sinusverloop heeft.
Bij een proefpersoon blijken de longen bij volledige inademing 4,5 dm3 lucht te bevatten en bij volledige uitademing is er nog 0,5 dm3 achtergebleven in de longen.
Deze proefpersoon ademt per minuut 20 keer in en uit.
Op tijdstip  t = 0 bevinden de longen zich in volledig uitgeademde toestand.
       
  a. Geef een functievoorschrift van L als functie van t.
       
  b. Hoeveel seconden duurt het vanaf t = 0 totdat er 1,5 dm3 lucht in de longen zit?
       
  De proefpersoon gaat nu op een hometrainer zitten en fietsen, waardoor zijn ademhalingsritme oploopt tot 35 keer per minuut. Zijn maximale en minimale longinhoud veranderen niet.
       
  c. Geef een nieuw functievoorschrift voor L(t).  Neem weer L(0) = 0,5.
     
MEER OPGAVEN
       
6. In de volgende tabel staan de tijden van zonsopkomst en zonsondergang in 2011. (de tijden zijn gegeven in Midden-Europese-Tijd (MET), dus van april tot en met oktober was het vanwege de zomertijd op onze klokken een uur later)
       
 
dagnummer 1 31 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
datum 1 jan. 1 feb. 1 mrt. 1 apr. 1 mei 1 jun. 1 jul. 1 aug. 1 sep. 1 okt. 1 nov. 1 dec.
zonsopkomst 8:48 8:21 7:27 6:16 5:11 4:26 4:24 5:01 5:51 6:40 7:34 8:25
zonsondergang 16:39 17:27 18:19 19:13 20:04 20:50 21:03 20:31 19:28 18:18 17:12 16:32
       
  De grafiek voor zonsondergang staat hieronder en is, zoals je ziet, aardig door een sinusgrafiek te benaderen..
       
 

       
  a. Geef een sinusformule die de grafiek hierboven beschrijft.
       
  Het tijdstip van zonsopgang is ook aardig door een sinusformule te beschrijven. De vroegste zonsopgang was op 30 juni, en dat was om 4:19. De laatste zonsopgang was op 30 december, en dat was om 8:48.
       
  b. Geef een sinusformule voor het tijdstip van zonsopgang.
       
  De daglengte is gelijk aan het verschil tussen zonsopgang en zonsondergang.
       
  c. Plot de grafiek van de daglengte, en schrijf vervolgens de daglengte D als  D = a + bsinc(x + d) waarbij x het dagnummer is.
       
7. examenopgave VWO wiskunde A, 2018-I.
     
 

Op de foto zie je een doorgezaagde boomstam. Hierin zijn zogenaamde jaarringen te zien. Deze ontstaan doordat de boom in de zomer snel groeit: dan wordt er licht gekleurd hout gevormd.
In de winter groeit de boom langzaam en wordt er donker gekleurd hout gevormd. Zo komt er elk jaar een ring bij, die uit een licht en een donker gedeelte bestaat: een jaarring.

In deze opgave kijken we eerst naar de groeisnelheid van de diameter (G) van een grove den. Omdat een boom afwisselend snel en langzaam groeit, kun je deze groeisnelheid modelleren met behulp van sinusoïden.

       
  Voor de groeisnelheid van de diameter van een grove den gelden de volgende eigenschappen:
  - de groeisnelheid is drie maanden na het ontkiemen van het zaadje maximaal;
  - de groeisnelheid is negen maanden na het ontkiemen minimaal;
  - dit patroon herhaalt zich elk jaar;
  - de maximale groeisnelheid is 2,1 cm per jaar;
  - de minimale groeisnelheid is 0,3 cm per jaar.
       
 

Voor de groeisnelheid van de grove den kun je op basis van deze eigenschappen een formule opstellen van de vorm
G = a + bsin(c(t - d)) .

Hierin is G de groeisnelheid in cm per jaar en t de tijd in jaren na het ontkiemen.

Bereken de waarden van a, b, c en d in deze formule. Licht je antwoord toe.
       
8. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde-B 2023-I

In deze opgave bekijken we het longvolume. Dit is de hoeveelheid lucht in de longen van de mens.
In onderstaande figuur is voor een bepaalde persoon in rust weergegeven hoe dit longvolume V afhangt van de tijd. Hierbij is V in mL en t de tijd in seconden.
       
 

       
  Deze grafiek is te beschrijven met een formule van de volgende vorm:

      V = p + q · cos(rt)
       
  a. Bereken de waarden van p, q en r. Geef niet-gehele waarden in je eindantwoord in twee decimalen.
       
  Als een persoon zich inspant, zal hij sneller gaan ademen. Ook ademt hij elke keer méér lucht in dan wanneer hij in rust is.   Voor iemand die zich inspant, geldt:
 

 V = 2500 + 1200 · sin(4,19(t - 0,37))
       
  Hierin is V het longvolume in mL en t de tijd in seconden.
De hoeveelheid lucht die deze persoon elke keer inademt, is gelijk aan het verschil tussen het maximum en het minimum van V. Gedurende één minuut ademt deze persoon meerdere keren in. In totaal ademt hij dan bijna 100 liter lucht in.
       
  b. Bereken hoeveel liter lucht deze persoon per minuut inademt. Geef je eindantwoord als geheel getal.
       
9. De originele boekklok hiernaast heeft een uurwijzer, een minuten wijzer en een secondewijzer.
Deze wijzers zitten vast in een draaipunt P dat op 15 cm vanaf de bodem zit. 
De lengte van de uurwijzer is 10 cm, van de minutenwijzer 13 cm en van de secondewijzer 14 cm.

We bekijken in deze opgave de hoogte H  (in cm vanaf de bodem) van het uiteinde van een wijzer als functie van de tijd t (in uren).

Op t = 0 is het precies drie uur.

  Geef een formule voor H(t) voor elk van de drie wijzers.  
       
10. Examenvraagstuk HAVO-B 2024-I

De bloeddruk in een slagader stijgt en daalt wanneer het hart het bloed door de aderen pompt. Dit stijgen en dalen is een periodiek verschijnsel dat te benaderen is met een sinusoïde. De periode hiervan is de tijd tussen twee opeenvolgende hartslagen.

De bloeddruk van een gezonde volwassen man in rust is vereenvoudigd weergegeven in de grafiek van de volgende figuur.
       
 

       
  Deze grafiek is te beschrijven met een formule van de vorm P = a + bsin(c (x - d), met P de bloeddruk in mmHg (millimeter kwikdruk) en t de tijd in seconden.
Bepaal de waarden van a, b, c en d met behulp van de grafiek in deze figuur. Geef je eindantwoorden zo nodig in één decimaal.
       
11. Examenopgave HAVO B 2024-II
 
  Voor elke dag van het jaar is te bepalen hoe laat de zon opkomt en hoe laat de zon ondergaat. Op elke dag van het jaar 2015 is volgens de lokale zomertijd bepaald hoe laat de zon in de Australische stad Sidney opkomt. De 365 meetpunten zijn in een assenstelsel getekend. Ze liggen bij benadering op een sinusoïde. In onderstaande figuur is deze sinusoïde getekend; een deel daarvan is dun getekend.

Onder het dun getekende deel is de grafiek getekend volgens de tijdstippen van zonsopkomst volgens de wintertijd. De zonsopkomst volgens de wintertijd is 1 uur eerder dan volgens de zomertijd.
 

 
  Het laagste punt van de grafiek van de zomertijd is (341; 5,62). Dit betekent dus dat de zon op dagnummer 341 volgens de zomertijd het vroegst opkomt. Dat is op tijdstip 5,62 (dus 5 uur en 37 min). Het hoogste punt van het dun getekende deel van de grafiek van de zomertijd bevindt zich op hoogte 8,00.

De grafiek van de wintertijd is te benaderen met een formule van de vorm:
       
 

S(t) = p + q sin(2p/365(t - r))
       
  Hierin is S het tijdstip van zonsopkomst en t het dagnummer met t = 1 op 1 januari. Door gebruik te maken van de grafiek van de zomertijd kunnen mogelijke waarden voor p, q en r worden berekend.
 
  a. Bereken mogelijke waarden voor p, q en r van S(t ). Geef je eindantwoorden in twee decimalen.
       
  Voor een plaats in Nederland zijn op dezelfde manier als voor Sydney volgens de lokale zomertijd de tijdstippen van zonsopkomst bepaald. Ook zijn de tijdstippen van zonsondergang volgens de zomertijd bepaald. De grafieken waarop de meetpunten liggen, zijn in de volgende figuur weergegeven.
 
       

       
  Bij de grafiek van de zonsopkomst hoort de formule:
     P(t) = 7,57 + 2,27sin(2p/365(t - 270,9))  met   1 ≤ t ≤ 365
en bij de grafiek van de zonsondergang hoort de formule:
     N(t) = 19,78 + 2,33sin(2p/365(t - 74,07))   met   1 ≤ t ≤ 365

Hierin is P het tijdstip van zonsopkomst en N het tijdstip van zonsondergang. Opnieuw is t het dagnummer met t =1 op 1 januari. Voor t kunnen dus alleen gehele waarden worden ingevuld.

Voor elke dag kan de tijd tussen zonsopkomst en zonsondergang worden bepaald. De langste dag is de dag waarop deze tijd zo groot mogelijk is.
       
  b. Bereken de tijd tussen zonsopkomst en zonsondergang op de langste dag. Geef je eindantwoord in een geheel aantal uren en minuten.
 
12. Examenopgave VWO Wiskunde A, 2024-I
 
Getij ontstaat door de aantrekkingskracht die de zon en de maan hebben op het zeewater. De zeewaterstand gaat hierdoor afwisselend omhoog en omlaag. Er zijn verschillende manieren om deze waterstand te benaderen.

Manus en Jan Willem bepalen bij Nes op Ameland de waterstanden bij laag- en hoogwater. Bij laagwater is de waterstand –123 centimeter ten opzichte van NAP (Normaal Amsterdams Peil). Zes uur later is het hoogwater, en de waterstand is dan +87 centimeter ten opzichte van NAP. Manus benadert de waterstand tussen de tijdstippen van laag- en hoogwater met een sinusfunctie en Jan Willem benadert de waterstand met de twaalfdelenregel.

Bij de twaalfdelenregel wordt de waterstand benaderd door lijnstukken (delen van een rechte lijn) met elkaar te verbinden. De tijd tussen laag- en hoogwater wordt in zes gelijke delen verdeeld. Beginnend op het tijdstip van laagwater gaat de verandering van de waterstand bij de twaalfdelenregel als volgt:
- Gedurende het eerste, tweede en derde deel stijgt de waterstand respectievelijk 1/6, 2/6 en 3/6 deel van de amplitude.
- Gedurende het vierde, vijfde en zesde deel stijgt de waterstand respectievelijk 3/6, 2/6 en 1/6 deel van de amplitude.
       

       
In de figuur zijn de benaderingen van de waterstanden met de twaalfdelenregel en de sinusfunctie weergegeven met respectievelijk een doorgetrokken en een gestippelde kromme. Het grootste verschil tussen beide benaderingen treedt op vlak voor en vlak na laagwater en vlak voor en vlak na hoogwater.
       
Onderzoek wat het maximale verschil is tussen de manieren waarop Manus en Jan Willem de waterstand benaderen. Geef je antwoord in hele millimeters.
       
13.

Op het station van Amersfoort is een trap naar het perron voorzien van een overkapping.
De onderkant van de overkapping (op de foto met een donkere lijn
aangegeven) heeft de vorm van (een deel van) een sinusoïde.

In de figuur hieronder zie je een model van het zijaanzicht van de
overkapping en van de trap naar het perron. Hierin is h de hoogte ten opzichte van het perron en x de horizontale afstand tot het hoogste punt van de overkapping, beide in meters.
       
 

       
  In de figuur is het hoogste punt van de sinusoïde (0; 6,46) en het laagste punt (15; 2,48).
We kunnen voor deze sinusoïde een formule opstellen van de vorm: h(x) = a + b • sin(c(x + 7,5))
Hierbij geldt: a ≈ 4,5; b ≈ 2,0 en c ≈ 0,2.
       
  a. Bereken met behulp van het hoogste en het laagste punt van de sinusoïde de waarden van de constanten a, b en c in twee decimalen nauwkeurig.
       
 

In de figuur is de trap weergegeven met lijnstukken: van (0, 4) via (2.7 , 4), (6.9 , 2), (8.1, 2) en (12.3, 0) naar (15,  0). We houden dus geen rekening met het feit dat de trap gedeeltelijk uit traptreden bestaat.

Met behulp van de formule h(x) = 4,5 + 2,0 • sin(0,2(x + 7,5)) en de beschrijving van de trap kan voor iedere waarde van x het hoogteverschil tussen de overkapping en de trap berekend worden.
       
  b. Onderzoek of er een waarde van x is, waar het hoogteverschil kleiner is dan 2,35 meter.
       
       
       
     
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)