© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Middelloodlijn.
De middelloodlijn van twee punten P en Q is de lijn die door het midden M van lijnstuk PQ gaat, en die loodrecht op PQ staat. Het is de rode lijn m in de figuur hiernaast.
Met dit in gedachten vind je het vast niet moeilijk om de vergelijking van zo'n middelloodlijn op te stellen. Ik hoop dat je het zó doet:

 
Voorbeeld 1 :  Geef de vergelijking van de middelloodlijn van P(2,6) en Q(8,15)

Oplossing:
PQ heeft richtingscoëfficiënt  (15-6)/(8-2) = 11/2 .
Loodrecht daarop staat de lijn m met richtingscoëfficiënt  -2/3.
Het midden M van PQ is  (5, 101/2).
101/2 = -2/3 • 5 + b  geeft  b = 135/6  dus  m:  y = -2/3x + 135/6.
   
Je kunt de vergelijking ook op een heel andere manier maken, en dat is een manier die we later nog vaak zullen gebruiken. Die manier is te verzinnen als je je bedenkt dat alle punten op de middelloodlijn gelijke afstand tot P en Q hebben.
 

Voor een punt S van de middelloodlijn geldt:  d(S,P) = d(S,Q)

 
Ik neem aan dat je wel zult zien dat dat klopt.
Deze eigenschap betekent dat een middelloodlijn eigenlijk de conflictlijn van twee punten is.
Stel dat punt S coördinaten (x. y) heeft, dan kun je de afstanden tot P en Q met Pythagoras berekenen.
d(S,P) = d(S,Q)   verandert dan in   √((x - xP)2 + (y - yP)2 ) = √((x - xQ)2 + (y - yQ)2 ) en daarvan kun je makkelijk een vergelijking maken.
   
Voorbeeld 1 (nogmaals): 
Geef de vergelijking van de middelloodlijn van P(2,6) en Q(8,15)

Oplossing:
d(S,P) = d(S,Q) geeft  (x - 2)2 + (y - 6)2 = (x - 8)2 + (y - 15)2
haakjes wegwerken:  x2 - 4x + 4 + y2 - 12y + 36 = x2 - 16x + 64 + y2 - 30y + 225
dat geeft  18y = -12x + 249  ofwel  y = -2/3x + 135/6.
   
Deze methode is trouwens helemaal niet makkelijker dan de vorige, maar wel gewoon leuk om te proberen natuurlijk.
   
Een cirkel door drie punten.
   
Als je drie punten hebt (die niet op één lijn liggen) dan kun je altijd een cirkel tekenen waar die punten alle drie op liggen.
Het middelpunt van die cirkel kun je namelijk makkelijk vinden.
Dat gaat zó:

Het middelpunt van de cirkel ligt even ver vanaf A als vanaf B, immers die afstanden zijn beiden gelijk aan de straal van de cirkel.
Maar omdat de middelloodlijn va AB bestaat uit alle punten die even ver van A als van B af liggen moet het middelpunt van de cirkel dus ergens op de middelloodlijn van AB liggen
Maar volgens precies dezelfde redenering moet het middelpunt van de cirkel dus ook op de middelloodlijn van lijnstuk AC liggen.

Leg nu beide plaatjes over elkaar:  dan moet het  middelpunt dus wel het snijpunt van beide middelloodlijnen zijn.
De cirkel die door alle drie de punten gaat heet ook wel de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.

   
 
 
  OPGAVEN
   
1. Bereken van de volgende paren punten de vergelijking van de middelloodlijn:
       
  a. (2, 5)  en  (8, 13)
       
  b. (-3, 6)  en  (5, 2)  
       
2. Driehoek ABC heeft hoekpunten  A(4, 3) en B(8,5)  en  C(6,9)
Bereken de straal van de omgeschreven cirkel van deze driehoek.
Geef je antwoord in 2 decimalen nauwkeurig.
       
3. De lijn  y = 2x + 5 is de middelloodlijn van lijnstuk PQ.
P is het punt  (8, 6).
Bereken algebraïsch de coördinaten van Q .
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)