© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Vol- en weer leegstromen
       

Een vloeistof wordt bewaard in een vat. Na het gebruik van de vloeistof is het vat nooit helemáál leeg. Om het vat weer te kunnen gebruiken moet het eerst worden schoongespoeld.
In de figuur zie je hoe dat wordt gedaan. Onder in het vat zit nog een restant vloeistof. Via de pijp linksonder wordt een spoelmiddel in het vat gepompt. Het restant vloeistof vermengt zich met het spoelmiddel.
Na een tijdje is het vat vol. Maar het erin pompen van het spoelmiddel gaat door en zo stromen spoelmiddel en vloeistof het vat weer uit via de uitgang rechtsboven. Het spoelen gaat door tot er (vrijwel) niets meer over is van de oorspronkelijke vloeistof.
Het vat van de figuur hierboven heeft een inhoud van 400 liter. Onderin zit nog 0,8 liter vloeistof en daarin zit 20000 mg van een chemische stof.
Het spoelmiddel wordt met 25 liter per minuut in het vat gepompt.
Onder de concentratie C wordt verstaan: de hoeveelheid chemische stof in milligram per liter vloeistof.
Tijdens het vollopen van het vat geldt voor C de formule:     
     

       

Hierin is s de tijd in minuten. Op s = 0 begint het pompen van het spoelmiddel in het vat. Deze formule geldt tot het vat vol is, dus tot het moment dat het uitstromen begint. 
       
a.

Leg uit waarom deze formule juist is.

  
       
b.

Bereken na hoeveel tijd de concentratie in het vat gelijk is aan 100 mg/l
       
c.

De formule voor C is om te schrijven naar de vorm:     s = a/C - b                            
Toon dat aan en bereken de getallen a en b  
       

Als het vat vol is stroomt er evenveel het vat uit als het vat in. De concentratie van de chemische stof neemt nu exponentieel af. We noemen de tijd in minuten t. Op t = 0 is het vat vol en begint het uitstromen. Op t = 0 is de 20000 mg chemische stof inmiddels opgelost in 400 liter vloeistof. Daardoor is de concentratie op dat tijdstip nog maar 50 mg per liter.

In de volgende tabel zie je de concentratie C van de chemische stof tijdens het uitstromen voor enkele waarden van t. 
       

t (in minuten)

0

4

8

12

C (in milligram per liter)

50,00

38,94

30,32

23,61
       

De groeifactor per minuut van dit exponentiële proces blijkt gelijk te zijn aan 0,94
       
d.

Toon dat aan door met de concentratie op twee tijdstippen uit de tabel deze groeifactor in drie decimalen nauwkeurig te berekenen.
       
e.

In hoeveel tijd halveert de concentratie tijdens het uitstromen?
Geef je antwoord in seconden nauwkeurig.
       
Met de waarden van C bij   t = 4 en t = 12  kun je ook een lineaire formule opstellen voor C
       
f. Onderzoek wanneer dit lineair het meest hoger uitvalt dan het exponentiële model en hoe groot het verschil is.
       
UITWERKING.
       
a. De hoeveelheid vloeistof is 0,8 en daar komt elke minuut 25 liter bij, dus dat is  0,8 + 25s
De hoeveelheid chemische stof is 20000
op elkaar delen geeft de hoeveelheid stof per ml spoelvloeistof en dat is de concentratie.
       
b. 100 = 20000/(0,8 + 25s)
100(0,8 + 2s) = 20000
0,8 + 25s = 200
25s = 199,2
s = 7,968 minuten
       
c. C = 20000/(0,8 + 25s)
C(0,8 +25s) = 20000
0,8C + 25Cs = 20000
25Cs = 20000 - 0,8C
Cs = 800 - 0,032C
s = 800/C - 0,032
a = 800 en  b= 0,032
       
d. 38,94/50 = 0,7788 = g4  geeft  g = 0,93941
30,32/38,94 = 0,7786 = g4  geeft  g = 0,93936
23,61/30,32 = 0,7786 = g4  geeft  g = 0,93938
Dus g is ongeveer 0,939
       
e. 0,939t = 0,5  geeft  t = 0,939log(0,5) = 11,10 minuten
       
f. (4, 38.94)  en  (12, 23.61)
Dy/Dx = -1,916
23,61 = -1,916  · 12 + b geeft  b = 46,602
De lineaire formule is  C = -1,916t + 46,602

De exponentiële formule is C = 50,00 · 0,939t 
Het verschil is  C1 - C12

Invoeren in de GR en dan intersect geeft een maximumvan  C = 1,05  bij  t = 7,88 minuten
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)