© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Gebroken functie  
       
Gegeven zijn de functies    

     

Eén van de functies fp heeft horizontale asymptoot  y = 2.
   
1.

Geef de vergelijking van de verticale asymptoot van deze functie.
     
2. Geef de vergelijking van de scheve asymptoot van de grafiek van g.
       
3. Geef de inverse functie van  f3  en bereken de coördinaten van het snijpunt van f3 met
de inverse functie van f3.
       
4.

Voor welke waarde(n) van  p heeft de grafiek van fp  een perforatie?
Hoe ziet de grafiek er voor deze p uit?
       
De productfunctie   h  =  fp ∙ g   is voor bepaalde p  te schrijven als 
       

       
5.

Toon dat aan.
       
6.

Onderzoek of de grafiek van h asymptoten (horizontaal, verticaal of scheef) of perforaties heeft.
       
       
 
Uitwerking.
       
1. De breuk moet dan naar -1 gaan als x naar oneindig gaat.
Dat betekent dat p gelijk is aan -4
De verticale asymptoot is dan de lijn x = -1
       
2.
  die achterste breuk gaat naar nul als x oneindig wordt, dus de asymptoot is de lijn  y = 4x - 4
       
3.
  y(4x - 3) = 3(4x - 3) + 3x - 2
4xy - 3y = 12x - 9 + 3x - 2
4xy - 15x = 3y - 11
x(4y - 15) = 3y - 11
 
       
  f3 snijdt zijn inverse als de functie de lijn y = x snijdt.
x = 3 + (3x - 2)/(4x - 3)
x(4x - 3) = 3(4x - 3) + 3x - 2
4x2 - 3x = 12x - 9 + 3x - 2
4x2 - 18x + 11 = 0
x = (18 ± Ö148)/8  
       
4. 4x - p en   px - 2  moeten dan beiden nul zijn
4x - p = 0  geeft  p = 4x
px - 2 = 0  geeft dan  4x2 - 2 = 0
dus  x = ±0,5Ö2
dan is  p = ±2Ö2
Dat geeft  f(x) = 3 ± 0,5Ö2
Dat zijn twee horizontale lijnen.
       
5.
  de noemer is  4x2 + 4x - px -  p  = 2(2x2 + 2x - 0,5px - 0,5p)
dus 2 - 0,5p = 1  en   0,5p = 1
Dat geeft  p = 2
Invullen in de teller en de haakjes wegwerken geeft de gevraagde functie h. 
       
6.
 

Dat blauwe deel gaat naar nul, dus de scheve asymptoot is de lijn  y = 14x - 15
 2x2 + x - 1 = 0  geeft  x = -1  Ú x = 0,5
x = -1  invullen geeft   -41/0  dus een verticale asymptoot  x = -1
x = 0,5 invullen geeft   -8/0  dus een verticale asymptoot  x = 0,5 

       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)