|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
||||
| Cirkel en parabool |
 |
|||
| Gegeven is de cirkel x2 + y2 - 20x + 32 = 0 | ||||
| a. | Bereken de straal van de cirkel. | |||
| Een parabool heeft als top het middelpunt van de cirkel en snijdt de y-as in (0, 200) |
|
|||
| b. | Geef de vergelijking van deze parabool | |||
| De parabool en de cirkel snijden elkaar in de punten A en B. | ||||
| c. | Bereken algebraïsch de coördinaten van A en B | |||
| d. | Geef de vergelijking van de raaklijn aan de parabool in punt A | |||
| e. | Geef de vergelijking van de raaklijn aan de cirkel in punt A | |||
| f. | Bereken in graden nauwkeurig de hoek waaronder de cirkel en de parabool elkaar in punt A snijden. | |||
| Uitwerking. | ||||
| a. | x2
+ y2 - 20x + 32
= 0 x2 - 20x + 100 - 100 + y2 + 32 = 0 (x - 10)2 + y2 = 68 Het middelpunt is (10, 0) en de straal is Ö68 |
|||
| b. | Top (10, 0) geeft
y = a(x - 10)2
punt (0, 200) invullen: 200 = a(0 - 10)2 a = 2 y = 2(x - 10)2 |
|||
| c. | (x
- 10)2 + y2 = 68 y2 = 4(x - 10)4 4(x - 10)2 + (x - 10)2 - 68 = 0 noem (x - 10)2 = p 4p2 + p - 68 = 0 p = (-1 ±Ö 1089)/8 = 4 of -4,25 (x - 10)2 = 4 x - 10 = 2 ∨ x - 10 = -2 x = 12 ∨ x = 8 Snijpunten (8, 8) en (12, 8) |
|||
| d. | y = 2(x
- 10)2 y ' = 4(x - 10) y''(12) = 8 dus de raaklijn heeft rc a= 8 De raaklijn gaat door (12, 8) dus 8 = 8 ·12 + b dus b = -88 De raaklijn is y = 8x - 88 |
|||
| e. | M = (10, 0) en
A = (12, 8) dus MA heeft rc 8/2
= 4 Dus de raaklijn aan de cirkel in A heeft rc a = -0,25 8 = -0,25 · 12 + b geeft dan b = 11 De raaklijn is y= -0,25x + 11 |
|||
| f. | De hoek tussen de
krommen is gelijk aan de hoek tussen de raaklijnen. voor de raaklijn aan de cirkel geldt tan(a) = -0,25 dus a = -14° (a de hoek met de x-as) voor de raaklijn aan de parabool geldt tan(a) = 8 dus a = 83° (a de hoek met de x-as De hoek tussen de krommen is dan 180 - 14 - 83 = 83° |
|||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
||||
