© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Serie cirkels  
       
Tussen twee lijnen die een hoek van 60°  met elkaar maken wordt een serie cirkels getekend die beide lijnen raken en ook elkaar. In de figuur zie je de eerste twee cirkels plus een gedeelte van de derde cirkel.

De eerste cirkel heeft straal 1.
Dan heeft de tweede cirkel straal 3
   
1. Toon dat aan
     

Het blijkt dat elke volgende cirkel 3 keer zo groot is als de vorige.
Het middelpunt van cirkel nr. n heeft coördinaten   M = (3n - 1 ×Ö3, 3n - 1)
       
2.

Toon dat aan.
       
3. Bereken de coördinaten van het zwaartepunt van de eerste drie cirkels samen.
       
4. Bereken de gekleurde oppervlakte hiernaast in twee decimalen nauwkeurig.
       
 
       
Uitwerking.
       
1.

De driehoeken zijn 1-2-Ö3  dus  ON = 2  en  OM = 2r
OM = 2 + 1 + r = 2r
 dan is r = 3
       
2. De y-coördinaten zijn de stralen van de cirkels,
dus 1 – 3 – 9 – 27  Dat is exponentieel met g = 3
dus y = 3n – 1
x = yÖ3 (vanwege de 1 – 2 - Ö3 driehoek)
       
3.

757pÖ3 = 91pxZ geeft  xZ = 757Ö3/91 = 14,4
p + 27p + 729p = 91pyZ   geeft  yZ = 757/91 = 8,3

       
4. De tweede en derde cirkel hebben straal  3 en 9
De cirkelsector van 60 van de grootste cirkel heeft oppervlakte 1/6p × 92 = 81/6p
De cirkelsector van 120 van de kleine cirkel heeft oppervlakte  1/3 × p × 32  = 3p

Driehoek MSQ is een 1-2-Ö3 driehoek en omdat MQ = 9 is dus  SQ = 9Ö3
De oppervlakte van  SQM is 0,5 × 9 × 9Ö3

Driehoek SPN is een 1-2-Ö3 driehoek en omdat NOP = 3  is dus  SP = 3Ö3
De oppervlakte van  SPN is 0,5 × 3 ×3Ö3

De groene oppervlakte is
SQM - SPN - sector1 - sector 2
= 81/2Ö3 - 9/2Ö3 - 81/6p - 3p
=  36Ö3 - 63/6p

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)