Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Sneeuwpop

Hiernaast zie je een sneeuwpop die ondersteund wordt door een gelijkzijdige driehoek, zodat hij niet omvalt.

Als we de oorsprong midden onder kiezen, zoals in de figuur aangegeven, dan is de sneeuwpop wiskundig voor te stellen als twee cirkels met vergelijkingen :
x² + (y - 30)² = 900 en x² + (y - 75)² = 225

De driehoek is zó onder de sneeuwpop geschoven dat de zijde ervan de cirkel raakt.
Het raakpunt is het punt R = (15Ö3, 15)

Toon aan dat de driehoek de cirkel inderdaad raakt in punt R.

De top van de driehoek ligt precies op de hoogte van het middelpunt van de onderste cirkel.
Dan is het zwaartepunt van de driehoek Z_D = (20Ö3, 10)

Toon dat aan.

Bereken in twee decimalen nauwkeurig de plaats het zwaartepunt van de beide
cirkels en de driehoek samen, als je ervan uitgaat dat ze een even grote dichtheid hebben.

Er zijn twee lijnen te tekenen die beide cirkels raken, en de x-as snijden.

Geef een vergelijking van één van die lijnen.

Uitwerking.

M = (0, 30)
de helling van MR is ^{(30 – 15)}/_{(0 - 15}_Ö3) = ^-1/_Ö3
de helling van de zijde van de driehoek is tan^-1(60°) = Ö3
Met elkaar vermenigvuldigd geeft dat -1, dus dat staat loodrecht op elkaar.
R ligt bovendien op beide grafieken dus R is het raakpunt

De zijde van de driehoek heeft helling a = Ö3 en gaat door (15Ö3, 15)
15 = 15Ö3 · Ö3 + b geeft b = -30
30 = xÖ3 – 30 geeft x = ⁶⁰/_Ö3 = 20Ö3
0 = xÖ3 – 30 geeft x = 10Ö3
De hoekpunten zijn (10Ö3, 0) en (30Ö3, 0) en (20Ö3, 30)
Het zwaartepunt is dan het gemiddelde van die coördinaten en dat is (20Ö3, 10)

Stel y = ax + b dus ax – y + b = 0 en d(P, M₁) = d(P, M₂)

d(P, M₁) = ^{|-30 + b|}/_Ö(_{1
+ a²}₎ = 30
d(P, M₂) = ^{|-75 + b|}/_{Ö(1
+ a²}₎ = 15

Daaruit volgt 2½-75 + b½ = ½-30 + b½
2(-75 + b) = -30 + b geeft b = 120 dus Ö(a² + 1) = 3 dus a = ±Ö8
-2(-75 + b) = -30 + b geeft b = 60 dus Ö(a² + 1) = 1 dus a = 0 en dat is de horizontale raaklijn

De lijnen zijn y = ± xÖ8 + 120