© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Druppel.
       
De kromme K wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen:  
     

       
Deze kromme is weergegeven in de figuur.  
       

       
In drie punten van deze kromme loopt de raaklijn aan de kromme verticaal.
       
1. Bereken exact de coördinaten van deze drie punten.
       
Voor de punten op kromme K geldt:

x2 = -y4 + 2y3 - 2y + 1

       
2. Bewijs dit.
       
Kromme K sluit een vlakdeel in dat symmetrisch is in de y-as. Door dit vlakdeel te wentelen om de y-as ontstaat een omwentelingslichaam in de vorm van een druppel.
       
3. Bereken exact de inhoud van dit omwentelingslichaam.
       
       
       
Uitwerking.
       
1. Bij een verticale raaklijn is  x ' = 0
x = sint(cos
t - 1)
gebruik  de productregel:
x ' = cost(cos
t - 1) + sint ·-sint
x' =
cos2
t - cost - sin2t
cos2
t - cost - sin2t = 0
cos2t
- cost - (1 - cos2t) = 0
cos2t
- cost - 1 + cos2t = 0
2cos2t
- cost - 1 = 0
cost =
(1 ± Ö9)/4
cost = 1  ∨  cost = -1/2
t = 0  ∨  t = 2
p  ∨  t = 2/3p  ∨  t = 4/3p
dat geeft de punten  (0, 1) en (0, 1) en (-3/4
Ö3, -1/2) en (3/4Ö3, 1/2)
       
2. x2 =??=  -y4 + 2y3 - 2y + 1
(sint(cos
t - 1))2 = ?? = -(cost)4 + 2(cost)3 - 2cost + 1
sin2t(cos2t
- 2cost + 1) = ?? = cos4t + 2cos3t - 2cost + 1
(1
- cos2t)(cos2t - 2cost + 1) = ?? = -cos4t + 2cos3t - 2cost + 1
cos2t
- 2cost + 1 - cos4t + 2cos3t - cos2t = ?? = -cos4t + 2cos3t - 2cost + 1
-cos4t + 2cos3t
- 2cost + 1 = ?? = -cos4t + 2cos3t - 2cost + 1

q.e.d.

       
3.
  x = 0
sint(cos
t - 1) = 0
sint = 0  ∨  cost = 1
t = 0  ∨  t = 2
p  ∨  t = p
dat geeft  y = -1  en y = 1
de grenzen zijn -1 en 1
 
  = p((1/5 + 1/2 - 1 - 1) - (-1/5 + 1/2 - 1 + 1))
=
p(-1,3 - 0,3)
= -1,6
p
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)