© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Modulorekenen bij polynomen.
       
Veel definities en afspraken uit het modulorekenen kun je eenvoudig uitbreiden tot polynomen. We bekijken daarbij alleen polynomen met gehele coëfficiënten  (dat heten ook wel  "polynomen over ℤ").
Bijvoorbeeld:
       

n is een nulpunt van f modulo m  als  f(n) ☰ 0  mod m
       
Bijvoorbeeld:
       

Als alle coëfficiënten van f deelbaar zijn door m dan geldt:   f ☰ 0  (mod m)
       
Bijvoorbeeld:  
       

Twee veeltermen f en g zijn congruent modulo m als   f - g  ☰ 0  (mod m)
       
Met zulke afspraken volgt heel eenvoudig dat veeltermen dezelfde eigenschappen modulo m hebben als getallen. Dus bijvoorbeeld als  f  ☰ g  en  h ☰ i   (mod m)  dan is ook f  + g ☰ h + i  en ook   f h ☰ gi en  ook   f n ☰ gn
(allemaal mod m natuurlijk)
Nog een laatste definitie:
 

De graad modulo m van een veelterm is de hoogst voorkomende exponent van x,
waarvan de coëfficiënt niet deelbaar is door m

       
Neem bijvoorbeeld het polynoom   f(x) =  2 + 8x + 24x2 + 12x3  -  84x4  
De graad modulo 5 is gelijk aan 4  (want 21 is niet deelbaar door 5)
De graad modulo 3 is gelijk aan 1  (want 8 is niet deelbaar door 3 en 21 en 12 wel)
De graad modulo 4 is gelijk aan 0  (want 2 is niet deelbaar door 4, en 8, 24, 12, 84 wel)
De graad modulo 2 bestaat niet (want alle coëfficiënten zijn deelbaar door 2) 
       
Ontbinden in factoren.
       
Stelling:
       

Als f graad k heeft, en x0 is een nulpunt  (mod m), dan is  f  te schrijven als 
 f(x) = (x - x0) •  g(x)  (mod m)  waarbij de graad van g gelijk is aan k - 1
       
Bewijs:    
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)