© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Negatief-Exponentiële kansverdeling.
       
De exponentiële verdeling is een broertje van de Poissonverdeling. Nou nee, eigenlijk een zoontje van de Poissonverdeling. Deze verdeling komt namelijk voort uit de Poissonverdeling.
Laten we de eigenschappen van de Poissonverdeling nog even op een rijtje zetten:

Als er op het interval [0, 1] gemiddeld m successen optreden en die successen zijn onafhankelijk van elkaar, dan geldt op het interval [0, 1]:

 
De Poissonverdeling is daarmee een discrete verdeling (aantal successen).
En voor het aantal successen op interval [0, t]  vervang je gewoon  m door  tm:
       

       
Van deze verdeling kunnen we met een slim trucje makkelijk een continue verdeling maken, namelijk door te kijken naar de tijd tussen de successen. Deze tijd (T) is exponentieel verdeeld.
Dat kun je snel inzien door de volgende opmerking: 
       
P(T ≤ t) = P(X ≥ 1)
       
Immers als de tijd tussen twee successen minder dan t is, dan betekent dat dat er in het interval [0, t]  tussen die twee successen minstens één ander succes optreedt.
uitwerken:

Dit zijn steeds cumulatieve kansen, dus wat hier staat is een verdelingsfunctie.
Wil je een bijbehorende kansdichtheid hebben, dan moet je die differentiëren:  f(t) = m • e-mt
Als we het helemaal formeel netjes willen doen dan moeten we de verdelingsfunctie overal definiëren, dan dat zou dan geven:
       
verdelingsfunctie:   kansdichtheid:
 
     

 

       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)