bewijzen uit het ongerijmde

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Bewijzen uit het ongerijmde.

In deze les uit de logica serie ontdekten we dat je een "ALS A DAN B" bewering mag omdraaien en voor beide beweringen NIET zetten. Dan blijft het resultaat logisch gelijk.

Deze "omkering-met-NIET-ervoor" geeft ineens de mogelijkheid een bewering te bewijzen!

Stel dat ik bewering A wil bewijzen. Dan laat ik zien dat uit ¬A een foute bewering volgt.
¬A ⇒ B is immers gelijkwaardig met ¬B ⇒ ¬¬A = A. Dus als ik zeker weet dat B fout is, dan is ¬B waar, en dus A ook.
Zo'n bewijs heet een "bewijs uit het ongerijmde" of wat mooier gezegd "reductio ad absurdum"

Een bewijs uit het ongerijmde klinkt altijd als volgt:

"Stel dat bewering A NIET waar zou zijn en daar volgt B uit.
Als dan B is duidelijk flauwekul is, moet A wel waar zijn".

Het werkt vooral als de bewering ¬A makkelijker is aan te pakken dan de bewering A.

Beroemd Voorbeeld: Stevin's Hellend Vlak

De "Beghinselen der Weeghconst" van Simon Stevin werd in 1586 uitgegeven (in één band met "De Weeghdaet", "De Beghinselen des Waterwichts", en een "Anhang" en in 1605 kwam er nog een "Byvough"). Het behandelt de theorie van krachten die elkaar in evenwicht houden. Zoiets als wat wij nu statica zouden noemen.
Een klassiek en antiek probleem was : "Evenwicht op een hellend vlak"

Twee bollen, verbonden door een touw via een katrol hangen rusten op twee vlakken met verschillende hellingshoeken. (het touw en de katrol zijn gewichtloos en alles beweegt wrijvingsloos uiteraard)

Wanneer is er evenwicht?

Stevin zegt in zijn "Voorstel 19":

Ghelijck des driehoucx rechter sijde tot de slincker, also t'staltwicht des cloots op de slincker sijde, tottet staltwicht des cloots op de rechter sijde.

Zo. Daar kun je 't mee doen.
Hij bedoelt natuurlijk te zeggen dat er evenwicht is als de verhouding van de gewichten gelijk is aan de verhouding van de lengte van de zijden waarop zij rusten.
Als bijv. de rechterzijde dubbel zo lang is als de linkerzijde, dan moet voor evenwicht het blauwe gewicht ook dubbel zo groot zijn als het rode.

Stevin geeft als bewijs het beroemde 'clootcrans-bewijs' met de "bollenkrans" hiernaast. Hij was er zó mee in zijn nopjes dat de figuur hiernaast zelfs zijn logo is geworden..

STEL dat er géén evenwicht is (het ongerijmde)....
Dan zou de ketting gaan bewegen (geen wrijving!)
Maar in die nieuwe situatie zou er nog steeds geen evenwicht zijn, dus de ketting zou alsmaar door blijven bewegen.
We hebben een Perpetuüm Mobile!!

"...ende de clooten sullen uyt haer selven een eeuwich roersel maken, t'welck valsch is".

Er moet wel evenwicht zijn.
(Het aantal bollen is uiteraard evenredig met de lengte van de zijde).

Dit is een voorbeeld van een "gedachtenexperiment", waar ik later nog een hele les aan zal besteden.

Nog een beroemd voorbeeld.

Stelling:

√2 is niet als breuk te schrijven

Bewijs.
Stel dat het wel kan...... (je wist al dat dit bewijs zo zou beginnen)
Dan zijn er gehele getallen p en q te vinden zo, dat √2 = ^p/_q

Vermenigvuldigen met q geeft q√2 = p, en dat kwadrateren geeft 2q² = p²

Laten we p en q gaan ontbinden in factoren.
Hoeveel 2^en staan er dan in bovenstaande vergelijking?
p² heeft een even aantal factoren 2 (namelijk het dubbele van het aantal in p)
q² ook.
Maar door die ene 2 links extra staan er dan aan de linkerkant een oneven aantal 2^en en aan de rechterkant een even aantal.
Dat kan niet! De gewenste flauwekul is bereikt!!!

q.e.d.

Contra-Positief.

Er is een tweede soort "bewijs uit het ongerijmde" die erg veel lijkt op de hierboven genoemde, maar er is een subtiel verschil. We wilden hierboven bewering A bewijzen, en begonnen dan met ¬A en hoopten dat daaruit "iets" tegenstrijdigs zou volgen. Het was alleen niet direct duidelijk wat dat "iets" dan zou moeten zijn.

Het kan ook directer.
Zo'n bewijs heet "Contra-positief" , en gaat als volgt:
We zagen al dat uit A ⇒ B volgt ¬B ⇒ ¬A.
Dus als we kunnen bewijzen dat uit ¬B volgt dat ¬A, dan hebben we de bewering A ⇒ B ook bewezen. Let wel: we bewijzen dus niet een bewering A, maar een bewering van de vorm "Als A dan B". We zeggen niets over het al of niet waar zijn van A, alleen over de gevolgtrekking (als A waar zou zijn, dan is B ook waar).

Het doel is hier steeds duidelijk: probeer ¬A aan te tonen.
"Ho stop eens," hoor ik je al zeggen. "Hierboven bij de ongerijmde bewijzen stond óók een als... dan... bewering (namelijk de vierde)". Toch was de aanpak daar anders. Kijk maar:

A = "in een driehoek geldt a² + b² = c²"
B = "de driehoek heeft een rechte hoek".

Contra-positief gaat het zó:
Neem een driehoek zonder rechte hoek, en probeer te bewijzen dat dan a² + b² ≠ c²In symbolen: ¬B ⇒ ¬A. Uit het ongerijmde gaat het zó:
Neem een driehoek zonder rechte hoek waarin geldt a² + b² = c² en probeer op flauwekul uit te komen.
In symbolen: (¬B én A) ⇒ onzin (maar wélke onzin is nog onbekend)

Voorbeeldje. Toon aan: Als (n mod 4) = (2 of 3) dan is n géén kwadraat.

Bewijs:
De contra-positieve variant luidt: "Als n een kwadraat is, dan is n(mod 4) gelijk aan 0 of 1".
Stel n = k² , dan zijn er vier gevallen:

k (mod 4) = 0
Dan is k = 4q en k² = (4q)² = 16q² = 4 • (4q² ) dus is n (mod 4) = 0

k (mod 4) = 1
Dan is k = 4q + 1 en k² = (4q + 1)² = 16q² + 8q + 1 = 4 • (4q² + 2q) + 1 dus n (mod 4) = 1

k(mod 4) = 2
Dan is k = 4q + 2 en k² = (4q + 2)² = 16q² + 16q + 4 = 4 • (4q² + 4q + 1) dus n (mod 4) = 0

k (mod 4) = 3
Dan is k = 4q + 3 en k² = (4q + 3)² = 16q² + 24q + 9 = 4 • (4q² + 6q + 2) + 1 dus n (mod 4) = 1

q.e.d.


OPGAV EN

1.	We gaan in deze opgave aantonen dat de vergelijking x³ + x + 1 = 0 geen breuk als oplossing heeft. Dat gaat in drie stappen.

	a.	Stel dat er wel een oplossing x = ^p/_qis, en vereenvoudig die zoveel mogelijk. Vul die oplossing in de vergelijking in, en schrijf je resultaat zo eenvoudig mogelijk en zonder haakjes en breuken.

	b.	Onderzoek van elke van de drie termen van je resultaat of die term even of oneven is (afhankelijk van het even/oneven zijn van p en q)

	c.	Maak het bewijs af.

2.	Dubbelschaak. Het spel dubbelschaken heeft dezelfde regels als gewoon schaken, met als enige verschil dat elke speler als hij aan de beurt is twee zetten moet doen in plaats van één. Bewijs dat er voor wit een strategie moet bestaan waarmee hij nooit verliest.