© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De regel van Pick.
       
Georg Alexander Pick ontdekte in 1899 een handige manier om snel van een veelhoek waarvan de hoekpunten roosterpunten zijn, de oppervlakte te berekenen. Simpelweg door roosterpunten te tellen!

• Hij telt het aantal roosterpunten binnen de veelhoek
en noemt dat B
• Hij telt het aantal roosterpunten op de omtrek van de veelhoek
en noemt dat O

Dan geldt voor de oppervlakte A:
     

A =  B + 1/2 • O  -  1
     
Even snel toepassen op veelhoek hiernaast:
O = 9  (de rode punten)
B = 16 (de groene punten)

Oppervlakte = 16 + 1/2 • 9 - 1 = 191/2 .  KLAAR!!
       
Bewijs.
  Voor elk punt van het rooster kun je de "hoek waaronder je de veelhoek ziet"  definiëren. Noem die hoek  α.
•  voor punten binnen in de veelhoek is  α = 2π
•  voor punten op de omtrek die géén hoekpunt zijn is  α = π.
•  voor hoekpunten van de veelhoek is α de hoek tussen beide zijden van dat hoekpunt (binnenkant)
•  andere punten van het rooster........ zijn onbelangrijk voor dit bewijs!

Deel nu al die hoeken α  door 2π.
Dat geeft voor hoeken binnen de veelhoek waarde 1, voor hoeken op de omtrek die geen hoekpunt zijn  1/2  en voor de hoekpunten gewoon  α/2π
Tel  vervolgens al die waarden (al die α/2π 's dus)  bij elkaar op
De waarde die dat oplevert noemen we S.
Nou komt het leuke:   het blijkt dat S precies gelijk is aan de oppervlakte van de veelhoek!!!!

Hûh??

Dat is als volgt in te zien:

Als je twee veelhoeken aan elkaar legt, dan wordt de oppervlakte natuurlijk gelijk aan de som van de twee afzonderlijke oppervlaktes. 
Maar dat geldt ook voor S:  S van de gezamenlijke figuur is de som van beide S-en van de aparte veelhoeken.

Kijk maar hieronder wat er allemaal kan gebeuren als twee veelhoeken aan elkaar geschoven worden:
     

     
  Punten binnen beide veelhoeken liggen ook allemaal binnen de gezamenlijke veelhoek.
  Punten op de omtrek (geen hoekpunten) blijven ook punten op de omtrek van de gezamenlijke veelhoek,
  Punten op het "gemeenschappelijke stukje" omtrek veranderen in binnenpunten, maar dat zorgt ervoor dat twee punten van waarde 1/2 veranderen in één punt van waarde 1.   De totale S blijft gelijk!
  Hoekpunten blijven hoekpunten. De totale S blijft gelijk.
  Twee hoekpunten worden één nieuw hoekpunt. Dan tellen de beide binnenhoeken gewoon op, zodat de totale  S gelijk blijft.
  Twee hoekpunten die samen toevallig binnenhoeken van 2π hebben  (360º) hebben totale waarde 1. Maar die worden een binnenpunt, met ook waarde 1. Weer blijft S gelijk.
 

Een hoekpunt plus een omtrekspunt worden samen één nieuw hoekpunt. Maar dat hoekpunt is dan 180º groter geworden, en dat is precies de waarde die het omtrekspunt had. S blijft gelijk.
       
Kortom:  bij het samenvoegen van twee veelhoeken tellen de S-waardes op, net zoals de oppervlaktes. En hetzelfde geldt dan omgekeerd natuurlijk voor het onderverdelen van een veelhoek in twee kleinere veelhoeken (wiskundig gezegd:  de functie S is additief).

Als we nou kunnen aantonen dat S voor een willekeurige driehoek gelijk is aan de oppervlakte, dan hebben we de regel van Pick bewezen, immers elke veelhoek is in driehoeken te verdelen (gewoon wat diagonalen tekenen).
 
Maar wacht eens even:  een willekeurige driehoek is door inlijsten altijd te zien als en rechthoek waar een aantal rechthoekige driehoeken van af worden getrokken.

....en een rechthoekige driehoek is te zien als een onderverdeling van een rechthoek
...en een rechthoek is te zien als opgebouwd uit allemaal vierkanten.

 
Dus als de regel van Pick voor één vierkant geldt......
⇒  dan geldt hij voor alle rechthoeken
⇒  en dan ook voor alle rechthoekige driehoeken
⇒  en dan ook voor alle driehoeken
⇒  en dan ook voor alle veelhoeken!!!!

Nou, da's gauw gecontroleerd.
Een vierkant van 1 bij 1 heeft 4 punten op de omtrek, en geen één erbinnen:  S = 0 + 1/2 • 4 - 1 = 1 = A    KLOPT!!!
       
■      
       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)